Dado un entero positivo $t$, ¿siempre existe un número natural $k$ tal que $(k!)^2$ sea un factor de $(2k-t)!$?

Question

Para todos los números naturales $k$, la razón $$ \frac{(2k)!}{(k!)^2}=\binom{2k}k $$ es un entero. Después de mirar fijamente el triángulo de Pascal durante mucho tiempo, sabemos que estas razones crecen bastante rápido a medida que $k$ aumenta. Por lo tanto, es natural pensar que algunos factores del numerador pueden ser eliminados de tal manera que la razón siga siendo un entero. Más específicamente, ¿podemos, para algunos $k$ cuidadosamente elegidos, dejar de lado un número elegido de factores más grandes? En otras palabras, dado un entero $t>0$, ¿existe un número natural $k$ tal que $$\frac{(2k-t)!}{(k!)^2}\in\Bbb{Z}?$$

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Mi curiosidad sobre esto proviene de una pregunta que tuvimos en mayo. El que preguntaba allí encontró el $k$ más pequeño que funciona para cada $t=1,2,\ldots,8$. En esa pregunta se determinó que con $t=9$, el $k$ más pequeño que funciona es $k=252970$.

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Es natural pensar en estas preguntas de divisibilidad un factor primo $p$ a la vez. Es bien sabido que si escribimos un número natural $m$ en base $p$, $$m=\sum_{i=0}^\ell m_ip^i$$ con los dígitos $m_i\in\{0,1,\ldots,p-1\}$, entonces la potencia más alta de $p$ que divide a $m!$ es igual a $$ \nu_p(m!)=\frac1{p-1}\left(m-\sigma_p(m)\right), $$ donde $$\sigma_p(m)=\sum_{i=0}^\ell m_i$$ es la suma de "dígitos" de $m$ en base $p$. Escrito de esta manera, mi pregunta pregunta si, dado un $t$, ¿existe un $k$ tal que la desigualdad $$ (2k-t)-\sigma_p(2k-t)\ge 2k-2\sigma_p(k) $$ se cumple para todos los primos $p\le k$.

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Dado que tenemos ese margen, uno podría esperar que esto sea posible. Pero no estoy seguro. Una obstrucción proviene de los primos justo por debajo de $k$. Si $k-(t/2), entonces $p^2$ es un factor en el denominador, pero $2p$ es demasiado grande para aparecer como factor en el numerador, por lo que $p^2\nmid (2k-t)!$. Ocasionalmente un primo pequeño también es problemático. No está claro para mí cómo abordar esto. Puede existir una construcción. Lo único que me viene a la mente es el ejercicio elemental $(k!)^{k+1}\mid (k^2)!$, pero eso no parece aplicarse aquí.

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En un comentario bajo la respuesta a la pregunta vinculada, el usuario metamorphy informa haber confirmado esto hasta $t\le14$.

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Edit/Nota: La evidencia disponible (véase también el comentario de Sil bajo esta pregunta) sugiere que, al menos al buscar el $k$ más pequeño que funcione para un $t$ dado, siempre que un $k$ elegido funcione para un número impar $t$, ese mismo $k$ también funciona para $t+1$. Si la pregunta principal resulta ser demasiado difícil de resolver, los pasos hacia explicar este fenómeno también son interesantes.

Answer 1

Nota: esto no es una solución completa, sino un enfoque que puede proporcionar información o ser viable en una solución.

Usando los términos en la pregunta, sea $t\ge 1$ dado y consideremos $\frac{(2k-t)!}{(k!)^2}$. Si tomamos $q=(t+1)\#+1+t$ entonces cada uno de los números $q-t+1,q-t+2,\dots, q$ tiene un factor en común con $q-t-1$. Si $2k\equiv q+\{0,1\}\mod (t+1)\#$ y $2k\ge q$ entonces no habrá primos $p\in [2k-t+1, 2k]$ y por lo tanto si $p\mid k!$ entonces $p^2\mid (2k-t)!$. (Nota que un $q$ impar significa $2k\equiv q+1\mod (t+1)\#$ y $(q+1, (t+1)\#)\gt 2$.) Avanzando, asumamos que $2k\equiv_{(t+1)\#}t+1+(t\mod 2)$.

A continuación, consideremos un factor $p^r\mid k!$ tal que $p^{2r}\nmid (2k-t)!$, lo que significa que $p^u\mid x, x\in[2k-t+1,2k]$. Comenzamos con $u=2$. Si $p^2\ge t$ entonces debemos mover $p^2$ también al arreglo dado, lo cual puede lograrse con $p^2\equiv 2k-q-[1,t]\mod (t+1)\#$. Este mismo proceso se puede aplicar para cada $p^u > t$. Más específicamente, sea $u_p=\lfloor\log_p t\rfloor +1$, entonces $p^{u_p} > t$ para cada $p$ dado y el módulo especificado sería algo así como $$q=t+1+\prod_{p\le t}p^{\lfloor\log_p t\rfloor+1}$$ con $2k\ge q+\{0,1\}$. Este valor probablemente se puede simplificar como $2k\ge t!+t+\{1,2\}$.

Para poder utilizar esto aún más, podría demostrarse que cada primo aumenta su cantidad total de factores de $\binom{2n}n$ a medida que $n$ aumenta, o que $n$ aumenta de alguna manera patrónica, de modo que se pueda determinar un límite. Específicamente, está claro en los patrones que para $p=2$ la cantidad $\binom{2^n-2}{2^{n-1}-1}$ tiene $n-1$ factores de $2$, mientras que para $p>2$ la cantidad $\binom{p^n+1}{\frac{p^n+1}2}$ tiene $n-1$ factores de $p$. Hay patrones específicos repetitivos de cada primo hasta cada uno de estos límites particulares, pero hasta ahora no he podido controlarlos. Sin embargo, los patrones parecen presentar una forma de "aritmética modular" que parece tener potencial para convertirse en un valor de $2k$ para un valor dado de $t$, por ejemplo, cada $3$er $n$ en $\binom{2n}n$ o cada $5$to, etc.