Demostrar que $\nu$ es una medida exterior

Question

Sea $\eta: P(\mathbb{R}) \to [0,\infty]$ una función arbitraria con $\eta(\emptyset)=0$, donde $P(\mathbb{R})=\{A: A \subset (-\infty,\infty)\}$. Para $A \subset \mathbb{R}$ (es decir, $A \subset (-\infty,\infty))$, definimos

$$\nu(A)=\inf \{ \sum_{i=1}^{\infty} \eta(A_{i}) : A \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}\}$$

Demuestra que $\nu$ es una medida externa y $\nu \leq \eta$

Answer 1

Si $\{A_i\}$ es cualquier familia finita o infinita numerable de conjuntos cuya unión contiene a $A$, por definición tienes que $$\nu(A) \le \sum_i \eta(A_i).$$ Dado que $A \subset A$, se sigue que $\nu(A) \le \eta(A)$.

Una simple consecuencia de esto es que $\nu(\emptyset) = 0$. Falta demostrar que $\nu$ es subaditiva numerable: si $\{B_n\}$ es una familia numerable de subconjuntos de $\mathbb R$, entonces $$\nu \left( \bigcup_n B_n \right) \le \sum_n \nu(B_n).$$ Si la suma a la derecha es infinita, no hay nada que demostrar, así que asumamos, sin pérdida de generalidad, que $\nu(B_n) < \infty$ para todo $n$. Fija $\epsilon > 0$ y para cada $n$ selecciona una secuencia $\{A_i^n\}$ de subconjuntos de $\mathbb R$ cuya unión contiene a $B_n$ y que satisface $$ \sum_i \eta(A_i^n) < \mu(B_n) + \frac{\epsilon}{2^n}.$$ La unión de la familia numerable $\{A_i^n\}$ contiene la unión de los $B_n$ de modo que $$ \nu \left( \bigcup_n B_n \right) \le \sum_{i,n} \eta(A_i^n) \le \sum_n \nu(B_n) + \epsilon.$$ Ahora deja que $\epsilon \to 0$.