He estado preguntándome sobre esto durante un tiempo, pero sin tener suerte real para resolverlo. La famosa identidad del "sueño del segundo año" se refiere a dos integrales similares, una de las cuales es
$$\int_{0}^{1} x^{-x}\ dx = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-n}$$
que tiene una simetría agradable entre el integrando y el sumando. Sin embargo, también noto que $x \mapsto x^{-x}$ es una función que converge rápidamente a cero de $x$, y por lo tanto parece más "natural" preguntarse entonces sobre la integral
$$\int_{0}^{\infty} x^{-x}\ dx$$.
La integración numérica sugiere que es aproximadamente 1.99545596. Sin embargo, lo que me gustaría encontrar es alguna otra representación que no sea directamente una integral, ya sea una serie, o incluso una expresión finita utilizando funciones y/o constantes matemáticas ya establecidas.
Y no parece muy claro en absoluto cómo hacer esto. Obviamente, con límite superior $\infty$, la expansión de Taylor del integrando no sirve de nada ya que solo tendrá un radio finito de convergencia. La otra línea de ataque que se me ocurre es intentar expresar $x^{-x}$ como una serie de algún tipo de funciones decaimiento que sean más simples de integrar. Tenemos que
$$x^{-x} = e^{-x \ln x}$$
pero esto no sirve: no proporciona ninguna serie en términos de términos similares a $e^{-x}$. Tenemos la interesante sustitución $x = e^{W(u)}$, $dx = \frac{1}{1 + W(u)}\ du$ (equiv. a $u = x \ln x$) con la función Lambert W, que da
$$\int_{0}^{\infty} x^{-x}\ dx = \int_{0}^{\infty} e^{-u} \frac{du}{1 + W(u)}$$
pero esto no ayuda para expansiones en serie.
¿Qué se sabe sobre esta integral?
