Diagrama de Venn QS

Question

Cada uno de un grupo de 50 estudiantes estudia ya sea francés o español pero no ambos, y ya sea matemáticas o física pero no ambos. Si 16 estudiantes estudian francés y matemáticas, 26 estudian español y 12 estudian física, ¿cuántos estudian tanto español como física?

La respuesta es 4 pero no estoy seguro de cómo usar un diagrama de Venn para encontrar eso. ¡Un diagrama de Venn sería de gran ayuda!

Answer 1

Sea $E$ el conjunto de los 50 estudiantes. Sea $A$ el conjunto de estudiantes que estudian francés, $B$ el conjunto de estudiantes que estudian español, $C$ el conjunto de estudiantes que estudian matemáticas y $D$ el conjunto de estudiantes que estudian física.

Tus hipótesis son que $$ A\cap B=\emptyset,\quad C\cap D=\emptyset\quad A\cup B=E,\quad C\cup D=E$$ y también que $$ |A\cap C|=16,\quad |B|=26, \quad |D|=12.$$ Quieres saber $|B\cap D|$. Primero, tienes $$|C|=|E|-|D|=50-12=38$$ $$|A|=|E|-|B|=50-26=24$$ porque son disjuntos. Además, porque $(A\cap C)\cup(A\cap D)=A$, siendo estos disjuntos, esto muestra $$|A\cap D|=24-16=8.$$ El mismo razonamiento se aplica a $(B\cap D)\cup (A\cap D)=D$, y da $$|B\cap D|=12-8=4$$ Espero que esto te haya ayudado. El diagrama de Venn sigue bastante fácilmente a partir de esto.

Answer 2

Aquí hay un diagrama de Venn:

Los $0$'s todos se derivan del hecho de que nadie estudia 1, 3, o 4 materias.

Sabemos:

$$X+Y+Z+16=50$$

$$X+Y=26$$

$$X+Z=12$$

Entonces:

$$X+Y+Z=34$$

$$Z=34-(X+Y) = 34-26 = 8$$

$$X = 12-Z=12-8=4$$