¿Cuál es el ángulo óptimo para tirar de un objeto ancho sobre un plano horizontal?

Question

Tengo una pregunta de la vida real (no es una tarea, así que estoy luchando por encontrar una respuesta en línea) que espero que alguien pueda ayudarme por pura curiosidad.

Básicamente tengo un objeto ancho (un poste en este caso) que quiero tirar hacia mí una cierta distancia sobre el suelo (así que podemos ignorar cualquier verticalidad con los ángulos).

¿Cuáles son los lugares óptimos para colocar cuerdas y tirar del objeto hacia mí y por qué?

Algunas ilustraciones de lo que me pregunto (vista desde arriba):

Escenario 1

Colocando las cuerdas en el centro del objeto, en línea con donde estoy parado:

Escenario 2

2 Cuerdas atadas en cada punto del objeto

Escenario 3

1 Cuerda atada a cada punto, y tirada con otra cuerda en el centro de la primera cuerda:

Intuición

Me da la sensación de que el escenario 2 o 3 serían los mejores, y probablemente los más estables al tirar, pero me pregunto qué dicen las matemáticas al respecto

Editar 1

Definición de la condición óptima: En qué ángulo o punto de sujeción se requeriría la menor cantidad de fuerza para mover el objeto

Gracias por señalar esto @basics

Answer 1

Supongamos que necesitas una fuerza $F_\text{pull}$ de magnitud $F$ para contrarrestar la fricción entre el poste y el suelo, de manera que tu objeto pueda moverse con una velocidad constante. Supongo que la cuerda es ideal, es decir, que la tensión se propaga por ella sin reducirse.

En la figura se muestra la fuerza que las cuerdas aplican al poste en verde, la fricción en rojo, la tensión de las cuerdas en naranja, y la fuerza neta que necesitas aplicar a la cuerda en morado. Las etiquetas indican la magnitud de estas fuerzas.

Configuración 1. Aplicas una fuerza $F$ a la cuerda, la cual tira con una fuerza idéntica $T=F$ sobre el poste.

Configuración 2. La fuerza neta sobre el poste - es decir, la magnitud de la suma vectorial de los dos vectores verdes - es $2 T \sin\alpha$ ($\alpha$ es el ángulo indicado en verde) en la dirección "horizontal"; los componentes "verticales" se cancelan. Esta es la misma fuerza neta (morada) que debes aplicar a la cuerda, porque nuevamente los componentes verticales de la tensión (naranja) se cancelan. Esto significa que tiras nuevamente con una fuerza $F$, pero en este caso la tensión en cada cuerda es igual a $T = F/(2 \sin\alpha)$, que puede ser mayor o menor que $F$, dependiendo del ángulo. Sin embargo, el trabajo que realizas es el mismo.

Configuración 3. La fuerza neta sobre el poste es nuevamente $2 T \sin\alpha$, y las matemáticas son idénticas a la configuración 2. La única diferencia es que la tensión de la cuerda roja es $F$, mientras que en las cuerdas azules es $F/(2 \sin\alpha)$. Tiras nuevamente con una fuerza $F$, y realizas la misma cantidad de trabajo.

Ahora vamos a complicar un poco el problema. Supongamos que la fricción no es uniforme a lo largo del poste. Entonces, si tiras en el centro, puedes contrarrestar la fricción total, pero inevitablemente tendrás algo de torque actuando sobre el poste, el cual entonces se rotará.

En fórmulas, mientras que $F_\text{pull}$ balanceará perfectamente $F_1 + F_2$, el torque total será no nulo y será igual a $\frac{L}{2}(F_2-F_1)$ en la dirección "antihoraria" ($L$ es la longitud del poste).

Las otras dos configuraciones son mejores desde este punto de vista. Cualitativamente, al "inclinar" la fuerza que aplicas a la cuerda, puedes ajustar las dos tensiones para contrarrestar cualquier torque. He dibujado un ejemplo para la configuración 2:

Matemáticas análogas se aplican a la configuración 3. Sin embargo, en este último caso, la cuerda roja misma tiene que estar inclinada: Creo que, en la práctica, es mucho más fácil trabajar con la configuración 2, especialmente si usas ambas manos para tirar de una cuerda cada una...

¡Espero que esto sea útil!

Answer 2

Para superar el efecto de la gravedad y la fricción, es mejor atar una cuerda por debajo del centro de gravedad del objeto.