Me encontré con el siguiente problema en un desafío de matemáticas senior del UKMT:
Un equipo de hockey consta de 1 portero, 4 defensores, 4 centrocampistas y 2 delanteros. Hay cuatro suplentes: 1 portero, 1 defensor, 1 centrocampista y 1 delantero. Un suplente solo puede reemplazar a un jugador en la misma categoría, por ejemplo, centrocampista por centrocampista. Dado que se pueden usar un máximo de 3 sustituciones y que todavía hay 11 jugadores en el campo al final, ¿cuántos equipos diferentes podrían terminar el juego?
Aquí está la solución oficial:
En primer lugar, observamos que de los jugadores en el campo al final del juego, el portero es 1 de 2 jugadores, los 4 defensores forman 1 de 5 posibles combinaciones diferentes, al igual que los 4 centrocampistas, y los 2 delanteros forman 1 de 3 posibles combinaciones diferentes. Entonces, si se permitieran hasta 4 sustituciones, el número de equipos diferentes que podrían finalizar el juego sería $2\times 5\times5\times3$, es decir, 150. De este número debemos restar el número de estos equipos que requieren que se realicen 4 sustituciones. Esto es $1\times 4\times4\times2$, es decir, 32, por lo que el número de equipos requerido es 118.
Cuando intentaba resolver el problema, llegué hasta $2\times 5\times5\times3$, es decir, 150, y sabía que se necesitaba el número de estos equipos que requieren 4 sustituciones, pero ¿por qué es el número de equipos que requieren que se realicen 4 sustituciones $1\times 4\times4\times2=32$? ¡Gracias!
