Hay algo extraño acerca de $\sum \frac 1 {\sin(n)}$.

Question

Claramente, $$\sum_{n=1}^\infty \frac 1{\sin(n)}$$ No converge (aproximaciones racionales para $\pi$ y lo que sea.) Por diversión, tracé $$P(x)=\sum_{n=1}^x \frac 1{\sin(n)}$$ Para $x$ en varios intervalos. Al principio, vi lo que podrías esperar:

Que es $P(x)$ para $x \in [0,20]$ y luego $[0,300]$. Parece un poco auto-similar, pero da igual. Luego miré $P(x)$ en el intervalo $[360,700]$:

Vale, eso se parece sospechosamente a $P(x)$ en el intervalo $[0,300]$, pero voy a desechar esta coincidencia como 'probablemente tiene que ver con que $\pi$ es irracional'. Aquí está $P(x)$ en $[700,1050]$:

Y observo un comportamiento similar en intervalos similares.

Poniéndolo todo junto, aquí está $P(x)$ en $[0,20000]$:

¿Está convergiendo? No del todo. Aquí está $P(x)$ en $[20000,100000]$:

Entonces nuevamente, vemos que la función 'se acerca más y más, luego se aleja más y más, todo mientras alterna' desde algún valor, tal como vimos en los intervalos más pequeños. Sospecho que si mi computadora pudiera manejar $P(x)$ en $[100000,200000]$, veríamos lo mismo (en una escala más grande), aunque no estoy seguro.

Entonces: ¿qué está pasando aquí? ¿Cómo podemos explicar este comportamiento fractal?

Editar: Me pregunto si $P:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ es inyectiva...

Answer 1

Los comentarios están ilustrando bien lo que está sucediendo aquí. Estoy escribiendo el post para insertar imágenes y añadir una pequeña explicación sobre la aproximación de fracciones continuas.

Como mencioné antes en un comentario, las 'mejores' aproximaciones racionales de un número irracional vienen de su fracción continua. Las primeras aproximaciones racionales son $$3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{103993}{33102}, \frac{104348}{33215}, \frac{208341}{66317}, \frac{312689}{99532}, \cdots .$$ (El código de Mathematica es como Table[FromContinuedFraction[ContinuedFraction[Pi, k]], {k, 1, 20}])

En una buena aproximación de $\pi$, digamos $355/113$, tenemos $355 \approx 113 \pi$ entonces $\sin (355) \approx 0$. Además, la diferencia se estima como \begin{align*}|\sin(355)|& = |\sin(355 - 113\pi)|= 113\cdot \sin\left|\frac{355}{113} - \pi\right| & \\ & < 113 \cdot\left|\frac{355}{113} - \pi\right| < 113 \cdot \frac{1}{113 \cdot 33102} = \frac{1}{33102}\end{align*} entonces $|\sin(355)|>33102$, por lo tanto, el salto en 355 es mayor a 30000.

(Se puede observar un salto en 710, que es $355\times 2$. Nótese que $\pi \approx 355/113 = 710/226$)

La siguiente estimación de fracción continua es 103993/33102, es decir, hay un salto en 103993. El tamaño de este salto se estima de manera similar como $>33215$.

Luego, el siguiente salto es bastante cercano ya que la siguiente estimación de fracción continua es 104348/33215, con un salto mayor a 66317.

Este patrón, grandes saltos en el numerador de la estimación de fracción continua de $\pi$ continúa como sigue.

Si estás interesado en el código en python3:

import numpy as np 
from matplotlib import pyplot as plt 

reciprocal_sin_sum = [0] 
for n in range(1, 400000):
    reciprocal_sin_sum.append(reciprocal_sin_sum[-1] + 1/(np.math.sin(n)))

plt.figure(figsize=(20,8))
plt.plot(range(len(reciprocal_sin_sum)), reciprocal_sin_sum)
plt.show()

Answer 2

Solo por diversión podríamos construir una representación integral de la suma: la transformada inversa de Mellin de $1/\sin(n)$ es $$ \mathcal{M}^{-1}\left[\frac{1}{\sin(n)}\right](x) = \frac{1}{1+x^\pi} $$ lo cual quizás muestra la relación con $\pi$ de manera más clara. Luego podemos escribir formalmente $$ \int_0^\infty \left(\sum_{k=0}^n x^k \right)\frac{1}{1+x^\pi} \; dx = \sum_{n=1}^{n+1} \frac{1}{\sin(n)} $$ o $$ \int_0^\infty \frac{(x^{n+1}-1)}{(x-1)(1+x^\pi)} \; dx = \sum_{n=1}^{n+1} \frac{1}{\sin(n)} $$ lo cual aparentemente funciona para un $n$ entero. Ahora también podemos interpolar numéricamente para algunos fraccionales $n$ como $n=1/2$, aunque no puedo garantizar la corrección de esta continuación... Esto lleva a una conjetura del límite infinito de $$ \int_0^\infty \frac{1}{(1-x)(1+x^\pi)} \; dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sin(n)} \aprox. 1.256628 $$ aunque no estoy seguro si la integración numérica simplemente arrojó tonterías... La residuo en $x=1$ parece ser $-1/2$.