Prueba de Límite superior; ¿Hay alguna prueba más intuitiva?

Question

Supongamos que $(a_{n}:n\geq1)$ es una secuencia que satisface $\limsup_{n \to \infty}|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|<1$.
Demuestre que $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ converge absolutamente.

Ahora la prueba dada es un poco incómoda, ¿hay una prueba más bonita y más intuitiva que esta?

Si $\limsup_{n \to \infty}b_n=\alpha$, entonces para cualquier $\epsilon>0$ existe solo un número finito de $n$ tales que $b_n\geq \alpha + \epsilon$.
Entonces, si $\limsup_{n \to \infty}|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|<\alpha + \epsilon$ podemos elegir $\epsilon$ de manera que $\alpha +\epsilon < 1$, por lo tanto, existe un $N_0$ tal que $|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|<\alpha +\epsilon$ para todo $n\geq N_0$.
Entonces $|a_{N_{0}+m}|\leq(\alpha +\epsilon)|a_{N_{0}+m-1}|\leq (\alpha +\epsilon)^{n}|a_{N_{0}}|$ para todo $m\geq1$.
En consecuencia, existe un $B$ tal que $|a_n|\leq B(\alpha +\epsilon)^{n}$ para todo n y por comparación $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|$ es convergente.

Answer 1

La prueba en realidad es bastante intuitiva, creo, pero la presentación incluida en tu respuesta no logra enfatizar eso. La idea es simple, realmente - comparamos con una serie geométrica. Comenzamos con $$ \limsup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \alpha < 1 \text{,} $$ y con el conocimiento de que la serie geométrica $$ \sum_{k=0}^\infty c\beta^k $$ converge si $0 < \beta < 1$.

Ahora, en lugar de $\limsup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \alpha < 1$ tendríamos $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < \alpha < 1$ para todos los $n$, seguiría que $|a_n| < |a_0|\alpha^n$ y ya estaríamos, por comparación con la serie geométrica anterior (fijando $\beta = \alpha$ y $c=|a_0|$).

Ahora, no tenemos exactamente eso, pero tenemos algo lo suficientemente cercano. Por la definición misma de $\limsup$, sabemos que para cada $\epsilon > 0$, $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > \alpha + \epsilon$ solo puede ocurrir un número finito de veces. Así que lo que hacemos es elegir un $\epsilon$ tal que $$ \alpha + \epsilon < 1\text{, digamos $\epsilon = \frac{1 - \alpha}{2}$, y fijamos $\beta = \alpha + \epsilon$.} $$

Dado que $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > \beta$ solo ocurre un número finito de veces, existe un $N$ tal que $$ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < \beta \text{ si } n \geq N \text{,} $$ y por lo tanto $$ |a_n| \leq |a_N|\beta^{n-N} \text{ si $n \geq N$.} $$ ¡Pero entonces estamos hechos! Solo tenemos que dividir la suma en dos partes - los términos hasta $a_N$ y los siguientes a $a_N$ - y comparar estos últimos con la serie geométrica para obtener $$ \sum_{n=0}^\infty |a_n| = \underbrace{\sum_{n=0}^{N-1} |a_n|}_{\text{$< \infty$ since suma finita}} + \underbrace{\sum_{n=N}^\infty |a_n|}_{\leq \sum_{k=0}^\infty |a_N|\beta^k < \infty} < \infty \text{.} $$

Tu prueba hace exactamente lo mismo, solo que en muchas menos palabras.

Answer 2

La intuición de tu prueba es la estándar para este teorema. Sin embargo, se puede decir que introducir $\alpha$ y $\epsilon$ sin hacer referencia a los valores realmente necesarios no es óptimo. Y vuelve a leer esta oración tuya: "Entonces si $\limsup_{n \to \infty}|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|<\alpha + \epsilon$ podemos elegir $\epsilon$ tal que $\alpha +\epsilon < 1".

Dicho esto, yo argumentaría de la siguiente manera:

Supongamos que $\limsup_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|=:p<1$ y elige un $q$ con $p

Answer 3

Solo un intento. Si es incorrecto, por favor sugiéralo.

Si $\limsup_{n \to \infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r < 1 $, entonces $ \exists n \ge N \in \Bbb N $ tal que $\forall n' > n (||a_{n'}| - r |a_{n'+1}|| < \delta (n) = r^n )$.

Después obtenemos, $$\limsup_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m |a_k| < \sum_{k=1}^{n} |a_k| + |a_n| \lim_{m\to\infty} ( r + r^2++ \dots +r^{m-1} + n \delta(n)) \\\le \sum_{k=1}^{n} |a_k| + |a_n|\left( \frac {1} {1-r} - 1\right) + m \delta(m) |a_n|$$

O, $$\left| \limsup_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m |a_k| - \left( \sum_{k=1}^{n} |a_k| + |a_n|\left( \frac {1} {1-r} - 1\right)\right)\right | < |a_n| \lim_{m\to\infty} m r^m = \epsilon $$