Singularidades, singularidades esenciales, polos, polos simples

Question

¿Podría alguien explicar las diferencias entre cada una de estas;

Singularidades, singularidades esenciales, polos, polos simples.

Entiendo el concepto y cómo usarlos para calcular el residuo en cada punto, sin embargo, no entiendo completamente cuál es la diferencia para cada una de estas

Según entiendo, ¿un polo simple es una singularidad de orden $1$?

entonces tenemos polos de orden $n$ que no son simples?

No estoy muy seguro acerca de la singularidad esencial

Answer 1

El punto $z_{0}$ es una singularidad aislada de $f(z)$ si $f(z)$ es analítica en $0 \lt |z-z_{0}| \lt r$ (un círculo de radio r centrado en $z_{0}$ con el punto $z_{0}$ eliminado). Si se expande una función $f(z)$ en una serie de Laurent alrededor del punto $z_{0}$, $$f(z) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} a^{k} (z-z_{0})^{k}$$ podemos clasificar las singularidades aisladas en 3 casos:

1. Si no hay potencias negativas de $z-z_{0}$, entonces $z_{0}$ es una singularidad removible y la serie de Laurent es una serie de potencias.

   • Ejemplo: $$\frac{\sin(z)}{z} = 1 - \frac{z^{2}}{3!} + \frac{z^{4}}{5!} - ...$$ tiene una singularidad removible en 0.

2. $f(z)$ tiene un polo de orden m en $z_{0}$ si m es el entero positivo más grande tal que $a_{-m} \ne 0$. Un polo de orden uno es un polo simple. Un polo de orden dos es un polo doble, etc.

   • Ejemplo: $$f(z) = \frac{1}{(z-3i)^{7}}$$ tiene un polo de orden 7 en $z=3i$

3. Si hay un número infinito de potencias negativas de $z-z_{0}$, entonces $z_{0}$ es una singularidad esencial.

   • Ejemplo: $$\mathrm{e}^{1/z} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2!z^{2}} + ...$$ tiene una singularidad esencial en 0.

Answer 2

Hay tres tipos de singularidades.

Singularidad removible, que puede ser extendida a una función holomorfa sobre ese punto.

Polos, que son removibles después de multiplicar por algún $(z-a)^n$. El $n$ más pequeño se llama el orden del polo, cuando $n=1$, se llama simple.

Singularidad esencial: ninguna de las anteriores. Por ejemplo, $g(z)=e^{1/z}$ ya que $|g(z)z^l|$ nunca está acotada cerca de $0$.

Answer 3

Singularidad:

$\quad$ Se dice que un punto $a$ es un punto singular de una función $f$ si

i) $f$ no es analítica en $a$ y

ii) si podemos encontrar un vecindario de $f(a)$ de tal forma que exista un punto $b$ en el cual $f$ es analítica.

Singularidad Esencial:

$\quad$ Se dice que un punto $a$ es una singularidad esencial de una función $f$ si

i) $f$ no es analítica en $a$ y

ii) si cada vecindario de $f(a)$ contiene un número infinito de puntos en los cuales $f$ es analítica.

Polos:

Se dice que un punto $a$ es un polo si

i) es una singularidad esencial y

ii) $\lim_{z \to a} f(z) = \infty$

Un polo de orden 1 es un polo simple y un polo doble si es de orden 2.