$\blacksquare$ Para la parte (a), [he explicado al final por qué estabas obteniendo una respuesta incorrecta]
para cada una de las bolas $O_1, O_2, O_3, O_4$ (distingibles, por lo que podemos asignar nombres de esta manera) tienes $3$ opciones $Box_1, Box_2, Box_3$ para que vayan, y la colocación de $O_1$ (o $O_2$, o $O_3$, o $O_4$) no depende o afecta la colocación de ninguna de las otras bolas, es decir, estas son elecciones independientes, por lo que podemos multiplicar sus opciones como $3\times 3\times 3\times 3=81$
$\blacksquare$ Para la parte (b),
tienes $4$ bolas distinguibles $A,B,C,D$ y el problema es equivalente a encontrar el número de particiones del conjunto $Balls=\{A,B,C,D\}$ en a lo sumo $3$ subconjuntos disjuntos. Tienes las siguientes particiones del número $4$ como sumas $$1+1+2, \ 2+2, \ 3+1,\ 4$$ y para cada una de estas particiones, debes encontrar el número de formas en que el conjunto $Balls$ puede ser dividido. Como has mencionado, hay ${4\choose 4}=1$ $\textbf{[para la partición $4=4$]}$ solo una forma de juntar todas las bolas. Hay $\frac1{2!}{4\choose 2}{4-2 \choose 2}=3$ $\textbf{[para la partición $4=2+2$]}$ formas de agrupar las bolas en dos cajas (que son indistinguibles), ${4\choose 3}{4-3 \choose 1}=4$ $\textbf{[para la partición $4=3+1$]}$ formas de juntar $3$ bolas juntas en una caja y $1$ bola en otra caja y ${4\choose 2}{4-2\choose 1}{4-2-1\choose 1}\frac1{2!}=6$ $\textbf{para la partición $4=2+1+1$} formas de juntar $2$ bolas juntas en una caja, y las dos restantes por separado en cajas diferentes.
La forma en que se ha hecho el conteo aquí es, por ejemplo para la partición $4=2+1+1$, necesitas elegir $2$ bolas de $Balls$ para considerar las primeras $2$, lo cual se puede hacer de ${4\choose 2}$ formas, ahora te quedan $4-2$ bolas restantes, y debes elegir $1$ de ahí para considerar la primera $1$ en la partición anterior, lo cual puedes hacer de ${4-2\choose 1}$ formas, y de forma similar la última bola se puede elegir de las restantes ${4-2-1}$ bolas en ${4-2-1\choose 1}$ forma. Por supuesto, escribir el último término en estos productos es redundante, porque una vez que hemos elegido todos los grupos restantes para las particiones, solo queda una bola para elegir que obviamente se puede hacer de $1$ forma solamente. Finalmente dividimos por $2!$ para considerar el sobreconteo que tenemos debido a sumandos de la misma magnitud, es decir, $\{AB, C, D\}, \ \{AB, D, C\}$ son iguales.
Entonces, sumas todos estos números para obtener $6+4+3+1=14$ para la parte (b). Contar las particiones de esta manera se vuelve complicado como podrás imaginar, así que revisa números de Stirling de segunda clase que cuentan solo la respuesta a este problema cuando te sientas cómodo.
$\blacksquare$ Para la parte (c),
Dado que las bolas no son distinguibles pero las cajas sí lo son, digamos que colocamos $x$, $y$, $z$ bolas en la $1^{er},\ 2^{do}, \ 3^{er}$ caja respectivamente. Entonces tenemos las siguientes restricciones en $x,y,z$ que deben ser enteros, por cierto: $$x,y,z \ge 0; \\ x+y+z=4$$ es decir, tenemos que encontrar el número de soluciones enteras no negativas a la ecuación anterior $x+y+z=4$. Contar ese número es lo mismo que contar el número de formas en que puedes organizar $4$ bolas y $2$ signos '+' en una línea, porque cada una de estas disposiciones conducirá a cada tripleta única de soluciones $(x,y,z)$ $$\text{ como } \blacklozenge + \blacklozenge \blacklozenge \blacklozenge + \text{ representa la solución } 1+3+0 \\ \text{ y } ++\blacklozenge \blacklozenge \blacklozenge \blacklozenge \text{ representa la solución } 0+0+4$$ Así que tenemos que contar el número de permutaciones de $6$ símbolos donde $4$ son iguales de una clase y $2$ son iguales de otra clase, y la cantidad de formas de hacer eso es $\dfrac{6!}{4!2!}=15$.
Finalmente, para responder por qué estabas obteniendo una respuesta incorrecta para la parte (a), en realidad consideraste las bolas como indistinguibles (¿ves por qué?), y las cajas como distinguibles [que era el caso para la parte (c)] y por lo tanto $15$ es la respuesta para la parte (c).
