Serie converge implica $\lim{n a_n} = 0$

Question

Estoy estudiando para los exámenes de calificación y se topó con este problema.

Mostrar que si ${a_n}$ es un nonincreasing secuencia de reales positivos números tales que $\sum_n{a_n}$ converge, entonces $\lim_{n \rightarrow \infty}{n a_n} = 0$.

Usando la definición de límite, esto es equivalente a mostrar

\begin{ecuación} \forall \epsilon > 0 \; \existe n_0 \; \mbox{tales que} \; |n a_n| < \epsilon \; \forall n > n_0 \end{ecuación}

o

\begin{ecuación} \forall \epsilon > 0 \; \existe n_0 \; \mbox{tales que} \; a_n < \frac{\epsilon}{n} \; \forall n > n_0 \end{ecuación}

Básicamente, los términos deben ser delimitadas por la serie armónica. Gracias, realmente estoy atascado en este problema aparentemente sencillo!

Answer 1

Por la prueba de condensación de Cauchy, \displaystyle \sum $ 2 ^ n a_ {2 ^ n} $ converge desde $\displaystyle \sum $ a_n converge y así $ 2 ^ n a_ {2 ^ n} \to 0. $ Para $ 2 ^ n < < 2 k ^ {n+1} $,

$$ 2 ^ n a_ {2 ^ {n+1}} \leq k a_ {k} \leq 2 ^ {n + 1} a_ {2 ^ n} $$

tan $n a_n \to 0. $

Answer 2

Algunos consejos:

Si $S_ {n} = \sum_{k=1}^{n} a_ {k} $

entonces qué es

¿$ \lim_{n \to \infty} S_ {2n} - S_ {n} $?

¿Ahora puede utilizar el hecho de que $a_ {n} $ es no-aumentando al límite superior un cierto término de la secuencia $na_ {n} $ con un múltiplo de $S_ {2n} - S_ {n} $?

Answer 3

Ahora que ha pasado suficiente tiempo para que más información no estropear nada para el OP:

Este hecho se puede encontrar en $\S 179$ de G. H. Hardy seminal de Un Curso de Matemática Pura: él menciona que demostró por primera vez por Abel, a continuación, olvidado y luego redescubierto por Alfred Pringsheim. He reproducido Hardy prueba en $\S 2.4.2$ de estas notas en una serie infinita. Esto es mucho más pulido que lo que me ocurrió cuando tenía que resolver este ejercicio mí hace algunos años. Por otro lado parece ser exactamente lo que Aryabhata la respuesta de las sugerencias.

En mis notas también me atribuyen este resultado a L. Olivier e incluso citar el asunto de Crelle de la Revista en que aparece en 1827. Esta atribución no aparece en Hardy libro, que temporalmente me embaucó (yo no soy historiador de las matemáticas: cualquier información que proviene de los libros de matemáticas con buenas bibliografías), pero me imagino que debo de haber adquirido de la Konrad Knopp del libro en la serie infinita (el único otro libro I, que trata el tema en serio).

P. S.: el artículo de La wikipedia en Pringsheim es inusualmente (casi sospechosamente?) bueno. La impresión que tengo de él como un matemático es alguien que trabajó en la serie infinita, en una etapa cuando los fundamentos de la teoría fueron finalmente sólidamente en su lugar...y cuando los mejores matemáticos del día había ido a más fundamentales y difíciles problemas. Pero no sé si esto es justo. De todos modos, parece que no se oye de él, hasta que aprenda un poco más acerca de la serie de la que es tratada en la norma contemporáneo plan de estudios, pero tan pronto como usted hace su nombre viene de nuevo y de nuevo.

Answer 4

Creo que tengo una respuesta que no depende de ser lo suficientemente inteligente como para utilizar el par y el impar subsecuencias.

Debido a que la serie converge la secuencia de sumas parciales forma una secuencia de Cauchy así que tenemos para m,n>N

$$ \| \sum_m^n(a_i) \| < \epsilon $$

Y por un argumento similar a los anteriores: $\|(n-m)a_n \| \leq \| \sum_m^n(a_i) \| < \epsilon$ La distribución de la mano izquierda y el desdoblamiento de la desigualdad nos da la cadena:

$$ \| na_n \|-\|ma_n\|\leq \|(n-m)a_n \| \leq \| \sum_m^n(a_i) \| < \epsilon $$

A continuación, en el límite cuando n tiende a infinito y la fijación de m tenemos el resultado deseado desde $ma_n$ pondrá a cero.

Yo creo que... ?

Answer 5

Trate de mantenerse alejado de cuantificador cargado de fórmulas, que hacen que el problema sea difícil de entender, y sacar una foto. Hay un problema equivalente para la disminución de las funciones (como en la Integral de la Prueba de convergencia) y la imagen hace que sea obvio lo que es cierto en ese caso. Después de haber visto el continuo de la prueba, ejecute el mismo argumento de la secuencia, o se especializan en la función de una secuencia mediante el paso de las funciones o la aproximación de los mismos. No voy a estropear la "aha!" prueba-por-la imagen de la experiencia mediante la publicación de más detalles, pero es bastante fácil una vez que se dibuje el gráfico.