$A{A_1}, B{B_1}, C{C_1}$ son las medianas del triángulo ${ABC}$ cuyo baricentro es ${G}$ . Si los puntos ${A}, {C_1} ,{G}, {B_1}$ son cíclicos, entonces muestra que ${2a^2 =c^2 +b^2} $ si $a,b,c$ son los lados del triángulo.
Respuestas
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Sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados de $\Delta ABC$ en la notación estándar.
Así, por el teorema de Ptolomeo obtenemos $$AC_1\cdot B_1G+AB_1\cdot C_1G= C_1B_1\cdot AG$$ o $$\frac{c}{2}\cdot\frac{1}{6}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}+\frac{b}{2}\cdot\frac{1}{6}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}=\frac{a}{2}\cdot\frac{1}{3}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$$ o después de elevar ambos lados al cuadrado $$2a^4+b^4+c^4-3a^2b^2-3a^2c^2-b^2c^2+bc\sqrt{(2a^2+c^2-b^2)(2a^2+2b^2-c^2)}=0,$$ lo cual resulta en $$(2a^4+b^4+c^4-3a^2b^2-3a^2c^2-b^2c^2+bc)^2-b^2c^2(2a^2+c^2-b^2)(2a^2+2b^2-c^2)=0$$ o $$(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(b^2+c^2-2a^2)^2=0,$$ lo cual nos da que $$b^2+c^2=2a^2.$$
aprado
Puntos
1
Tengo una solución más. Digamos que $AA_1 = 3x$. Dado que $$\angle B_1BC =\angle C_1B_1B = C_1AG$$ la línea $BC$ es tangente al circuncírculo del triángulo $ABG$, entonces por PoP tenemos que $$a^2/4=A_1B^2 = A_1G\cdot A_1A = 3x^2$$ Ahora, dado que tenemos la identidad del paralelogramo, tenemos $$(6x)^2 +a^2 = 2b^2+2c^2$$ y hemos terminado.
