Prueba de Matriz Diagonalizable ($A^2=I$)

Question

Pregunta: Si $A^2=I$ y $A\ne I$, demuestra que $A$ es diagonalizable.

Al manipular $Ax=\lambda x$, he deducido que $A$ tiene valores propios $1$ y $-1$

Entonces $E_{\lambda_1}=ker(A-I)$ y $E_{\lambda_2}=ker(A+I)$

Ahora estoy atascado, y no estoy seguro de cómo proceder. Aún no he aprendido sobre polinomios mínimos, así que busco consejos que me ayuden a derivar una solución usando multiplicidades algebraicas y geométricas, o algo más simple.

Answer 1

Teorema. Si el polinomio minimal de una matriz tiene solo raíces simples, entonces la matriz es diagonalizable.

Si $A^2-I=0$, y $m(x)$ es su polinomio minimal, entonces $m(x)$ divide a $x^2-1$. Por lo tanto, $$ m(x)=x-1, \,\, m(x)=x+1\,\,\,\text{or}\,\,\,m(x)=x^2-1. $$ En los 3 casos, el teorema anterior establece que $A$ es diagonalizable.