Una ecuación diferencial singular

Question

En un vecindario de $0$ en $\mathbb{R}^n$ se da una función suave $h=h(x)$, $h(0)=0$. Tome números reales arbitrarios $w,\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{R}$.

El problema es encontrar una función suave $u=u(x)$ alrededor de $0$ tal que $$\sum_i\lambda_i\cdot x^i\,\frac{\partial u}{\partial {x^i}}(x)=w\cdot u(x)+h(x)\,.$$

Creo que hay soluciones a este problema solo para valores especiales de $w,\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{R}$. En el caso más simple, $h=0$, para la mayoría de los $w,\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{R}$ incluso no hay soluciones formales, pero tal vez $u$ podría ser constante en $0$.

¿Alguna idea para resolver este problema?

Answer 1

He resuelto el problema.

Podemos escribir nuestra EDP como $X(u)=w\cdot u+h$, donde $X$ es el campo vectorial $X=\sum_i\lambda_i\cdot x^i\,\partial_{x^i}$. Nótese que $X$ induce un concepto de $\textit{peso}$ de una función: $f$ es homogéneo de peso $w$ si $X(f)=w\cdot f$. En particular, la coordenada $x^i$ tiene un peso $\lambda_i$ y cualquier monomio $x^m$, donde $m=(m_1,\dots,m_n)\in\mathbb{N}^n$ es un multi-índice, es homogéneo de peso $|m|=\sum_im_i\,\lambda_i$.

Comprobando ahora las soluciones formales, obtenemos para $u(x)=\sum_ma_mx^m$ que $X(u)=\sum_m|m|a_m x^m$ lo que conduce a algunas restricciones para los coeficientes de la expansión de Taylor de $h$, por lo que es una condición necesaria. Si esta condición se cumple, es decir, si hay una solución formal, podemos reducir nuestro problema al caso en que $h$ es constante en $0$. Pero esto siempre tiene una solución.

Podemos reducir al caso en que todos los $\lambda_i\ne 0$ y algunos de ellos, digamos $\lambda_1,\dots,\lambda_k$, son $>0$. Consideremos las funciones $y_i=(x^i)^{1/w_i}$, $i=1,\dots,k$, y $z_j=(x^j)^{\lambda_1}\cdot(x^1)^{-\lambda_i}$, $j=k+1,\dots,n$. Obviamente, $y_i$ tienen peso $1$ y $z_j$ tienen peso $0$. Estas funciones se anulan en $0$ y generalmente no son coordenadas, pero como $h$ es constante en $0$, también es una función suave y constante en $0$ en las variables $(y_i,z_j)$. Además, en estas variables, $X=\sum_iy^i\partial_{y^i}$. Pongamos $$u(y,z)=\left(\sum_i(y^i)^2\right)^{w/2}\cdot u_1(y,z)\,.$$ Tenemos $$X(u)=w\cdot u+\left(\sum_i(y^i)^2\right)^{w/2}\cdot X(u_1)\,,$ por lo que es suficiente encontrar $u_1$ que satisface $$X(u_1)(y,z)=\left(\sum_i(y^i)^2\right)^{-w/2}\cdot h(y,z)\,.$$ Como $h$ es constante en $0$, el lado derecho de la ecuación anterior es una función suave y constante en $0$ en las variables $(y,z)$, digamos $h_1$. En consecuencia, reducimos la ecuación a $\sum_iy^i\cdot\frac{\partial u_1}{\partial {y^i}}(y,z)=h_1(y,z)$. La función $h$ se anula en $0$, por lo que puede escribirse en la forma $h_1=\sum_iy^i\cdot g_i$, donde $$g_i(y,z)=\int_0^1\frac{\partial h_1}{\partial y^i}(ty,z)\rm d t\,.$$ Ahora, es suficiente resolver el sistema de ecuaciones diferenciales $\frac{\partial u}{\partial y^i}=g_i$. La condición de integrabilidad es $$\frac{\partial g_i}{\partial y^j}=\frac{\partial g_j}{\partial y^i}\quad\text{para}\quad i\ne j\,,$ lo cual, debido a la forma de $g_i$, se cumple claramente.

Answer 2

Nota: Esta es solo una respuesta parcial, y en realidad no estoy seguro de haber entendido correctamente el problema.

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Si $x_i(t) = \alpha_i e^{\lambda_i t}$ es la característica de la ecuación, entonces el lado izquierdo de la ecuación se puede escribir como $\tfrac{d}{dt} u(x(t)$, y la ecuación se convierte en $$ \tfrac{d}{dt} u(x(t)) = w u(x(t)) + h(x(t)) . \tag{$\spadesuit$}$$ Esto, por supuesto, tiene una solución global única para cualquier valor dado de $u(x(0))$.

Así, para cada función $u_0$ en una hiper-superficie que intersecta cada característica en un solo punto, hay una única solución correspondiente $u$ en $\mathbb R^n \setminus \{0\}$ igual a $u_0$ en esa superficie. Si $u_0$ es suave, entonces $u$ también es suave, así que queda por ver si $u$ se extiende a una función suave en el origen.

Para $h$ constante cero, la imagen parece ser bastante clara, aunque un poco técnica de describir. Primero, tenemos $u(x(t)) = e^{w t} u(x(0))$. Ahora, la respuesta depende de los signos de $\lambda_i$ y $w$:

• Si todos los $\lambda_i$ son positivos y $w < 0$, entonces $x(t)$ tiende a cero a medida que $t \to -\infty$ y por lo tanto $u$ es o bien constante cero o es ilimitado cerca de cero.
• Si todos los $\lambda_i$ son positivos y $w > 0$, entonces nuevamente $x(t)$ tiende a cero a medida que $t \to -\infty$ y por lo tanto $u$ es continua en cero (con $u(0) = 0$). Notar que a lo largo de cada característica, $u$ es o constante cero o $u(x) \sim c |x|^{\lambda_j}$ para algún $j$ (es decir, $j$ correspondiente al valor mínimo de $\lambda_j$ entre los índices con $x_j(0) \ne 0$). En particular, ninguna solución no constante $u$ es plana en cero. Además, por el teorema de Taylor, cuando $t \to -\infty$ tenemos $$e^{w t} = u(x(t)) = \sum_{k_1 + \ldots + k_n \leqslant N} c_{k_1,\ldots,k_n} \exp \biggl( \sum_{i = 1}^n k_i \lambda_i t \biggr) + o(|x(t)|^N) . $$ Dado que $|x(t)| \approx \exp(\mu t)$ con $\mu = \min \{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}$, considerando $N$ lo suficientemente grande vemos que todos los coeficientes no nulos $c_{k_1,\ldots,k_n}$ necesariamente corresponden a grupos con una suma dada $\sum k_i \lambda_i$, y la suma de los coeficientes en cada grupo es cero (cuando $\sum k_i \lambda_i \ne w$) o uno (si $\sum k_i \lambda_i = w$). Por lo tanto, no existen soluciones no triviales si $w$ no tiene la forma $\sum_{i = 1}^n \lambda_i k_i$, y si la solución existe, es única solo cuando $\lambda_i$ son linealmente independientes sobre $\mathbb Q$.
• Si los $\lambda_i$ tienen signos diferentes, ninguna característica toca nunca el origen, y se necesita una descripción diferente. Esto no es más simple que en el elemento anterior, y desafortunadamente no tengo tiempo ahora para resolverlo (si alguien por ahí lo ha hecho, ¡por favor edite esta respuesta).

No tengo una clara intuición sobre cómo afectará una función no constante $h$ a esta imagen.

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Edición: La respuesta anterior trata de las soluciones generales para $h = 0$. Si se pregunta por una solución particular suave para un $h$ dado, la situación es mucho más simple. De hecho, la EDO ($\spadesuit$) es: $$ \tfrac{d}{dt} (e^{-w t} u(x(t))) = e^{-w t} h(x(t)) , $$ y así, si todos los $\lambda_i$ son positivos, una solución particular con $u(0) = 0$ está dada por $$ u(x(t)) = \int_{-\infty}^t e^{w (t - s)} h(x(s)) ds . $$ En otras palabras, si elegimos $x(0) = x$, entonces $$ u(x) = \int_0^\infty e^{w s} h(e^{-\lambda_1 s} x_1, \ldots, e^{-\lambda_n s} x_n) ds . $$ Esto está bien definido si, digamos, para algún $\mu > w$ tenemos $$ |h(x)| \leqslant C (|x_1|^{\mu/\lambda_1} + \ldots + |x_n|^{\mu/\lambda_n}) $$ en el vecindario de $0$, y por lo tanto en particular si $h$ es plano en $0$. En este último caso es fácil ver que $u$ también es plano en cero, y esto, a su vez, casi inmediatamente da la suavidad de $u$. Para $h$ no plano, uno debe considerar la expansión de Taylor de $u$ por separado (si es posible, por supuesto), y por lo tanto la respuesta parece ser mucho más complicada, pero como en tu respuesta no parece preocuparte demasiado este caso, me detendré aquí.