¿Por qué mi enfoque es el método incorrecto?

Question

La ecuación $\sin^4x-2\cos^2x+a^2=0$ se puede resolver si :

Mi enfoque fue sustituir $y$ como $\sin^2x$ y formar el cuadrático $y^2+2y+a^2-2=0.$

$D\geq0,$ entonces $-\sqrt3\leq a\leq\sqrt3.$

Lo cual no es la respuesta $a²\leq2.$

Supongo que $D\geq0$ solo se puede aplicar si $y$ tiene todos los valores reales pero no estoy seguro.

¿Se puede dar un método alternativo? Este es el único método que tengo para abordar este tipo de problemas.

Answer 1

El defecto en tu argumento es que al establecer el discriminante $D$ como no negativo, solo encuentra la restricción en $a$ tal que $$y=\sin^2x\in\mathbb{R};$$ mientras que el objetivo real es encontrar la restricción en $a$ tal que $$x\in\mathbb{R}.$$ Esta última restricción es más estrecha porque $$x\in\mathbb{R}\implies y\in\mathbb{R} \quad\text{ pero}\quad y\in\mathbb{R} \kern.6em\not\kern-.6em\implies x\in\mathbb{R}.$$

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Entonces, para resolver el problema, primero simplifica la ecuación dada completando el cuadrado: $$\sin^4x-2\cos^2x+a^2=0\\ \iff (\sin^2x)^2-2(1-\sin^2x)+a^2=0\\ \iff (\sin^2x)^2+2\sin^2x+a^2-2=0\\ \iff (\sin^2x+1)^2+a^2-3=0\\ \iff (\sin^2x+1)^2=3-a^2.$$ Luego establece la restricción dada: $$x\in\mathbb{R}\\ \iff -1\leq \sin x \leq1\\ \iff 1\leq (\sin^2 x+1)^2 \leq4\\ \iff 1\leq 3-a^2 \leq4\\ \iff -1\leq a^2 \leq 2\\ \iff a^2\leq2\\ \iff -\sqrt2\leq a \leq\sqrt2.$$

Answer 2

Con la fórmula cuadrática se encuentra que $$\sin^2(x)=-1+\sqrt{3-a^2}\mbox,$$ así que primero de todo $|a|\le \sqrt{3}$ como encontraste, pero aún tienes que comprobar para cuál de estos $a$ obtienes $$0\le -1+\sqrt{3-a^3}\le 1 \iff 1 \le 3-a^2 \le 4 \iff-1 \le a^2\le 2 \iff a^2\le 2$$