Desigualdad muy dura que yo no puedo probar

Question

$x \geq 0 $ Es número real, entonces

$$ x^x \geq \sqrt{ 2x^x - 1 } $$

¿Cómo puedo demostrarlo? Además, ¿cuál es la implicación greometrical de tales desigualdades? Gracias

Answer 1

$x^x$ Es positivo, puede cuadrado ambos lados sin preocuparse por la desigualdad. Vuelva $x^x = n$, por lo que la desigualdad se convierte en $n^2 \ge 2n - 1$. Reorganizar, $n^2 - 2n + 1\ge 0$. Factor, $(n-1)^2 \ge 0$, la desigualdad trivial.

Answer 2

De AM-GM: $$a=\frac{(2a-1)+1}2\geq\sqrt{2a-1}$ $

Tomando el $a=x^x$, $2x^x-1$ es positiva:

$$x^x\geq \sqrt{2x^x-1}$$

Answer 3

Que $y=x^x \ge 0$. Entonces usted tiene $y \ge \sqrt{2y-1} \iff y^2 \ge 2y - 1 \iff (y-1)^2 \ge 0$.

Answer 4

Tenga en cuenta que $a^2-2a+1=(a-1)^2\geq0$ para todo número real $a$. Entonces, $a>0$ tenemos $a^2\ge2a-1$ y $a\ge\sqrt{2a-1}$. Que $a=x^x$ $x>0$ obtenemos $x^x\ge\sqrt{2x^x-1}$.

Answer 5

Tomar un derivado (o simplemente observar) muestra que la izquierda crece más rápidamente que el derecho. Así nos basta establecer que el lado izquierdo es mayor que la derecha en $x=0$. Vemos que ambos lados son iguales. Así puesto que la izquierda crece más rápido, mantiene la desigualdad.