Caracterización de la derivada exterior $d$

Question

En el artículo Natural Operations on Differential Forms, el autor R. Palais muestra que la derivada exterior $d$ se caracteriza como el único mapa lineal "natural" de $\Phi^p$ a $\Phi^{p+1}$ (donde el $\Phi^p$ de Palais es lo que quizás se escribe más comúnmente como $\Omega^p$, y "que conmuta con todas las diferomorfismos", creo, significa $f^*(d\omega) = d(f^*\omega)):

la derivada exterior en $p$-formas se determina hasta un factor escalar por la condición de que sea un mapeo lineal en formas de $p+1$ que conmuta con todos los diferomorfismos.

He intentado leer la prueba en el artículo, pero me cuesta seguir los detalles y me falta comprender la idea general de la demostración.

Estoy interesado en la afirmación de Palais porque esta caracterización es la más convincente que he visto $-$ parece mucho más apropiada como una definición axiomática de $d$ que las definiciones que se encuentran en muchos libros de texto, que a menudo definen $d$ basadas en propiedades como $d(\alpha \wedge \beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge d\beta$ (donde $\alpha$ es una $k$-forma), $d^2=0$, o $d(\sum \omega_{i_1...i_k}dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}) = \sum d\omega_{i_1...i_k} \wedge dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}$. Si bien estas son propiedades bastante básicas de $d$, son más apropiadas como teoremas que como suposiciones a priori. (Por supuesto, lo que es más "natural" es una cuestión de opinión, así que por favor no insistas en el tema).

Dado que es una caracterización tan inocente y natural, me gustaría ver una prueba clara, motivada y razonablemente elemental de ello. ¿Por qué debería ser cierto que haya solo un mapa lineal natural de $\Omega^p$ a $\Omega^{p+1}$, hasta un múltiplo constante? ¿Cuáles son los pasos claves de una prueba?

Answer 1

Creo que esta podría ser una forma bastante intuitiva de entender esta afirmación. Estás definiendo el operador $d$ por la propiedad $f^*(d\omega)=df^*(\omega)$ para todas las formas $\omega$ y todos los difeomorfismos $f$. Un mapa lineal más general de $\Lambda^p$ a $\Lambda^{p+1}$ (me gusta esta notación para las p formas exteriores) sería una conexión afín general $\nabla$. Ahora, usando tu identidad definitoria dos veces, encontramos \begin{equation} f^*(d^2\omega)=d^2f^*(\omega)=0 \end{equation> lo cual es claramente cierto para la derivada exterior. Para una conexión más general, tenemos \begin{equation} f^*(\nabla^2\omega)=f^*(\Omega \omega)=\tilde{\nabla}^2 f^*(\omega)=\tilde{\Omega}f^*(\omega), \end{equation> donde $\Omega$ es la curvatura de la conexión, y $\tilde{\nabla}$ y $\tilde{\Omega}$ denotan la conexión y la curvatura inducidas bajo el difeomorfismo. Claramente, en general, la forma de la curvatura inducida de la conexión depende del difeomorfismo. Sin embargo, en el caso donde la curvatura es cero, la curvatura permanece invariante frente a todas las difeomorfismos.

Así que hemos establecido una relación entre tu definición y el requisito más común de que $d^2=0$. Como $d$ es la única conexión afín que satisface este requisito, hemos establecido el resultado.

Answer 2

Personalmente creo que la demostración de Palais es clara, motivada, y razonablemente elemental. Tal vez pueda agregar algo de intuición.

• La observación clave es que si $T:\Omega^p\to\Omega^{p+1}$ es lineal y conmuta con difeomorfismos, entonces debe ser local, en el sentido de que si $V$ es abierto, entonces $T\omega|_V$ está determinado por $\omega|_V$. Para ver esto, observamos que para cualquier punto $x$ podemos construir un difeomorfismo $f$ que actúa como una dilatación por $r\neq 1$ en el espacio tangente en $x$ y que es la identidad fuera de algún entorno $U$ de $x$. Ahora, si $\omega$ se anula en este entorno, entonces $f^\star\omega=\omega$. Así, $$r^{q+1}(T\omega)|_x=f^\star(T\omega)|_x=T(f^\star \omega)|_x=T\omega|_x,$$ entonces $T\omega|_x=0.$
• Puedes restringir aún más las posibles propiedades de $T$ observando que en cualquier carta coordenada, debe conmutar con traslaciones (lo cual tiene sentido debido a la localidad). De hecho, puedes construir un difeomorfismo que se parezca a una traslación localmente en una carta coordenada y que sea la identidad lejos.
• Es claro que esto ya es bastante restrictivo. Por ejemplo, un mapa continuo en el espacio de funciones de prueba que conmuta con traslaciones es claramente una convolución con una función generalizada. Si nuestro mapa es local, entonces el soporte de la última debe ser el origen. Se sabe que dicha función generalizada es una combinación lineal finita de deltas de Dirac y sus derivadas. Por supuesto, no sabemos si nuestro mapa es continuo, pero es plausible que conmutar con todos los difeomorfismos sea lo suficientemente fuerte como para descartar ejemplos patológicos. Por lo tanto, podemos concluir que en cualquier carta coordenada, nuestro mapa debería ser un operador diferencial con coeficientes constantes.
• Usando escalas nuevamente, podemos inferir además que nuestro operador debe ser de primer orden.
• En este punto, simplemente mirando una serie de mapas lineales concretos (digamos, los que dilatan una coordenada) fijará que $T$ sea la derivada exterior.