Probar la siguiente desigualdad: $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sin(x)}{\sqrt{9-sin^{4}(x)}}dx\geq \frac{1}{3}$

Question

Demuestra la siguiente desigualdad: $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sqrt{9-\sin^{4}x}}\ \mathrm dx\geq\frac{1}{3}. $$

Estoy pensando en reemplazar la ecuación con $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{9-\sin^{4} x }dx\geq \frac{1}{3}$, sin embargo estoy atascado en este punto.

¿Tienes alguna sugerencia?

Answer 1

\begin{align*}\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin{x}}{\sqrt{9-\sin^4{x}}}dx &\geq \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin{x}}{\sqrt{9}}dx\\& = \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/2} \sin{x}dx \\&=\frac{1}{3}[-\cos{\pi/2}-(-\cos{0})]\\&=\frac{1}{3}[0+1]\\&=\frac{1}{3} \end{align*}

La desigualdad se debe a que $\sqrt{9-\sin^4{x}}\leq \sqrt{9}$ debido a la positividad de $\sin^4{x}$. Así que ... $$\frac{1}{\sqrt{9-\sin^4{x}}}\geq \frac{1}{\sqrt{9}}$$

Answer 2

La desigualdad dada se puede deducir de AM-GM. De hecho$$\begin{eqnarray*} I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sqrt{9-\sin^4 x}}\,dx &=& \int_{0}^{1}\frac{z\,dz}{\sqrt{(9-z^4)(1-z^2)}}\\ &=& \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{du}{\sqrt{(3-u)(3+u)(1-u)}}=\int_{0}^{1}\frac{dv}{\sqrt{(2+v^2)(4-v^2)}}\end{eqnarray*}$$ y sobre $[0,1]$ tenemos $\sqrt{(2+v^2)(4-v^2)}=\text{GM}(2-v^2,4+v^2)\leq\text{AM}(2-v^2,4+v^2)=3$.
Esto también muestra que $I$ es una integral elíptica incompleta de primer tipo.