Para $\text{Im}(z) > 0$, describe todas las soluciones de $\cos(c z) = iz$, donde $c \in \mathbb{R}, c > 0$.

Question

Una trama compleja de la ecuación anterior muestra que hay infinitas soluciones en el semiplano superior, igualmente espaciadas en partes reales, pero con partes imaginarias que crecen de forma logarítmica. Estoy teniendo dificultades para encontrar una descripción exacta de estas soluciones.

Escribiendo $z = x + iy$ para $x, y \in \mathbb{R}$, la ecuación se convierte en $\cos(c(x+iy)) = i(x + iy)$, que al igualar partes real e imaginaria se convierte en el sistema de ecuaciones

$\begin{align*} \cos(cx)\cosh(cy) &= -y\\ -\sin(cx)\sinh(cy) &= x. \end{align*}$

No estoy seguro si hay una forma sencilla de expresar las soluciones a este sistema. Puedo resolver una de las variables (por ejemplo, usando la segunda ecuación para resolver $y$), pero sustituir de vuelta en la primera ecuación da una ecuación altamente no lineal en $x$, y no estoy seguro de cómo describir las soluciones.

Answer 1

Una forma alternativa de escribir tu sistema de ecuaciones es:

$$\cos(cx)(e^{-cy} + e^{cy}) = - 2y$$ $$\sin(cx)(e^{-cy} - e^{cy}) = 2x$$

De la identidad pitagórica $\cos^2(cx) + \sin^2(cx) = 1$, obtenemos:

$$\frac{4y^2}{(e^{-cy} + e^{cy})^2} + \frac{4x^2}{(e^{-cy} - e^{cy})^2} = 1$$

lo cual puede resolverse para $x$ en función de $y$.

$$x = \pm \frac{e^{-cy} - e^{cy}}{2}\sqrt{1 - \frac{4y^2}{(e^{-cy} + e^{cy})^2}}$$

Alternativamente, podemos resolver el sistema de ecuaciones original para $e^{cy}$ y $e^{-cy}$.

$$e^{cy} = \frac{-y}{\cos(cx)} - \frac{x}{\sin(cx)}$$ $$e^{-cy} = \frac{-y}{\cos(cx)} + \frac{x}{\sin(cx)}$$

Pero como estos son recíprocos el uno del otro, tenemos

$$\left( \frac{-y}{\cos(cx)} - \frac{x}{\sin(cx)} \right) \left( \frac{-y}{\cos(cx)} + \frac{x}{\sin(cx)} \right) = 1$$ $$\frac{y^2}{\cos^2(cx)} - \frac{x^2}{\sin^2(cx)} = 1$$

y al resolver $y$ en términos de $x$ obtenemos:

$$y = \pm \cos(cx) \sqrt{1 + \frac{x^2}{\sin^2(cx)}}$$