Importancia de la traza en campos de matrices isomórficas

Question

El campo $\mathbb{Q}(\operatorname{i})$ tiene un campo de matriz isomorfo de grado dos. El isomorfismo es $$\varphi:x+\operatorname{i}\!y \longmapsto \left[\begin{array}{cc} x & -y \\ y & x \end{array}\right]$$ Además de las conexiones obvias entre la adición y la multiplicación, se puede demostrar que la operación determinante está relacionada con la operación módulo: $\det\left[\varphi(z)\right] = |z|^2$. Además, la operación de traspuesta está relacionada con la operación de conjugado: $\overline{z} \mapsto \varphi(z)^{\top}$.

Dado que la traza juega un papel importante en el álgebra lineal y los grupos/álgebras de Lie, por ejemplo es invariante bajo cambios de base y está relacionada con la derivada del determinante, me lleva a preguntar:

¿Qué importancia tiene $\operatorname{tr}\left[\varphi(z)\right]=2\Re(z)$ en la teoría de los números complejos?

Answer 1

¿Cuenta $\operatorname{tr} \left[\varphi(z)\right] = \log \det\left[ \varphi(e^z)\right] $? Tenga en cuenta que $\varphi(e^z)=e^{\varphi(z)}$.

Answer 2

El rastro juega un papel muy importante en la teoría de los campos numéricos algebraicos (= subcampos de $\mathbb{C}$ que son de dimensión finita sobre $\mathbb{Q}$). Allí, el tamaño de las matrices es igual al grado de la extensión del campo. La forma bilineal de rastro $$(x,y)=tr(xy)$$ en particular juega un papel un poco como el producto interno. Incluso en el caso complejo, el producto interno de $z_1$ y $z_2$ (cuando se ven como vectores de 2 dimensiones sobre los reales) está dado por la fórmula $$\langle z_1,z_2\rangle=tr(\phi(z_1z_2^*)).$$