Caracterización de funcionales continuos en la topología débil-estrella

Question

Leyendo Espacios de Banach para analistas de Wojtaszczyk, estoy tratando de entender su demostración de que el espacio de todos los funcionales lineales continuos en $(X^\star,\sigma(X^\star, X))$ es $X$.

Para mostrar la parte $ \subseteq$, él dice que sea $\varphi$ cualquier funcional lineal en $X^\star$ continuo en $\sigma(X^\star, X)$. Entonces $\{x^\star \in X^\star : |\varphi(x^\star)| < 1\} \supset \{x^\star \in X^\star : |x_j(x^\star)| < \epsilon, j=1,\ldots,n\}$ para algún $\epsilon >0$ y algunos $x_1, \ldots, x_n \in X$. (¿No es esto simplemente decir que ya que $\varphi^{-1}((-1,1))$ es abierto, contiene un vecindario de 0?)

Luego--- aquí es donde me pierdo--- él dice que el resultado se sigue del hecho de que si $\varphi_0, \ldots, \varphi_n$ son formas lineales en un espacio lineal $X$ (sin ninguna topología), entonces $\varphi_0 \in \text{span}\{\varphi_j\}_{j=1}^n$ si y solo si $\text{ker}\varphi_0 \supset \cap_{j=1}^n \text{ker} \varphi_j$.

¿Cómo es relevante este hecho?

Answer 1

Sí a tu primera pregunta. En cuanto a la segunda, considera los $x_j$ como funcionales lineales en $X^*$. Si tienes $x_j(x^*)=0$ para todos los $j$, entonces todo múltiplo de $x^*$ está en el primer conjunto que tienes en tu segundo párrafo; es decir, $|\phi(tx^*)| <1$ para todo $t$ y por lo tanto $\phi(x^*)=0$. Así que $\phi$ es una combinación lineal de los $x_j$ y por lo tanto es continua.

Saluda a Joel de mi parte.