Me enfrenté a una pregunta que mostraba que {4,8,12,16} es un grupo bajo la multiplicación módulo 20. Está bien. También he resuelto el problema. Pero siento algo extraño en ello. El elemento de identidad de la multiplicación módulo 20 debería ser 1, lo cual no está en el grupo. Quiero decir, ¿cambia el elemento de identidad si cambio el conjunto con el que estoy trabajando manteniendo la misma operación binaria? Por favor dame un ejemplo similar en el que el elemento de identidad bajo la misma operación cambia debido a cambiar el conjunto en un grupo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
5xum
Puntos
158
Lo siguiente es una forma más avanzada de ver esto. En este momento, puede que esto no esté al nivel correcto para el OP - construir la tabla de Cayley probablemente sea la manera correcta de proceder para el OP - pero proporciona una visión de lo que realmente está sucediendo.
Observa el anillo ${\mathbb Z}/20$. Esto es isomorfo a ${\mathbb Z}/4 \times {\mathbb Z}/5$; el isomorfismo de este último al primero está dado por $(x,y) \mapsto 5x - 4y$.
Ahora observa todos los elementos de ${\mathbb Z}/4 \times {\mathbb Z}/5$ de la forma $(0,x)$ con $x \in {\mathbb Z}/5^*$, es decir, en $\{0\} \times {\mathbb Z}/5^*$. Debido a que $0^2=0$, esto forma un grupo bajo la multiplicación aunque $0$ no es invertible en ${\mathbb Z}/4$.
Los elementos $(0,1),(0,2),(0,3),(0,4)$ de ${\mathbb Z}/4 \times {\mathbb Z}/5$ corresponden a $-4=16$, $-8=8$, $-12=4$, $-16=4$ de ${\mathbb Z}/20$, por lo que este es exactamente el ejemplo del OP. El elemento unitario es $(0,1)$ en $\{0\} \times {\mathbb Z}/5^*$, correspondiente a $16$ en ${\mathbb Z}/20$.
Esto proporciona una forma de construir muchos más ejemplos. Por ejemplo, usando ${\mathbb Z}/2 \times {\mathbb Z}/3 \cong {\mathbb Z}/6$ mediante $(x,y) \mapsto 3x - 2y$, la misma construcción da como resultado el grupo multiplicativo $\{0\} \times {\mathbb Z}/3^*$. Los elementos $(0,1)$ y $(0,2)$ de este grupo corresponden a $4$ y $2$ de ${\mathbb Z}/6$.
John Stacen
Puntos
132
Establecer $S=\{4,8,12,16\}$
El elemento de identidad de la estructura algebraica $(S,\times_{20})$ es $16$.
- ¿Este grupo está cerrado bajo multiplicación en módulo: SÍ
- ¿Es la operación asociativa: $(4\times_{20}8)\times_{20}12=12\times_{20}12=\textbf{4}=4\times_{20}(8\times_{20}12)=4\times_{20}16=\bf{4}$
- ¿Existe una identidad: SÍ (16)
- ¿Cada elemento tiene su inverso: SÍ ($4 = 4^{-1}, 8 = 12^{-1}, 12= 8^{-1}, 16 = 16^{-1}$)
Por lo tanto, esta estructura algebraica es de hecho un grupo bajo multiplicación en módulo 20.
runeh
Puntos
1304
Si quieres un ejemplo más simple, mira $\{2,4\}$ módulo $6$; y uno similar $\{3,6,9,12\}$ módulo $15$. También $\{7, 14\}$ o $\{3,6,9,12,15,18\}$ módulo $21$.
Toma el último ejemplo, por ejemplo. Cada elemento es divisible por $3$ pero no por $7$. Sus productos, por lo tanto, serán divisibles por $3$ pero no por $7$ y al reducir $\bmod 21$ no cambia la divisibilidad por $3$ o $7$.
De hecho, el conjunto comprende un conjunto completo de residuos no nulos módulo $7$. Dado que los productos son todos divisibles por $3$, el valor del producto módulo $21$ depende solo del valor módulo $7$. La identidad multiplicativa es $15\equiv 1 \bmod 7$.
En tu ejemplo módulo $20$, si reduces los elementos módulo $5$ obtienes $\{4,3,2,1\}$ y el elemento identidad recibe el nombre que esperas.
Nota que el elemento identidad de un grupo se define por sus propiedades, no por su nombre.
Preguntas en tus comentarios cómo tu conjunto es un subgrupo, pero no indicas de qué piensas que es un subgrupo. Pero ten en cuenta que los enteros no nulos módulo $20$ no forman un grupo bajo multiplicación - tenemos $4\times 5=0$ por ejemplo, por lo que el conjunto no está cerrado bajo la operación binaria propuesta. Tienes que excluir los múltiplos de $2$ y $5$ para obtener el grupo estándar de elementos invertibles, pero esto no contiene los elementos que estás considerando. No es un subgrupo.
En el caso en el que la multiplicación no forma un grupo podemos tener tanto elementos nilpotentes no triviales $(e^2=0, e\neq 0)$ como idempotentes $(e^2=e, e\neq 0,1)$. Los idempotentes son candidatos para la identidad en grupos formados por un subconjunto de los elementos originales.
Módulo $20$ por ejemplo, $5$ es idempotente. ¿Puedes encontrar un grupo multiplicativo no trivial módulo $20$ con $5$ como la identidad?
