Identidad de doble factorial

Question

¿Alguien conoce una estrategia para probar $$ 2\cdot(2k-3)!!=\sum_{i=1}^{k-1}(2i-3)!!(2(k-i)-3)!!\binom{k}{i} $$ para $k\geq 2$? Tenga en cuenta que $(-1)!!=1$. Se agradecerían pistas. Soluciones completas no tanto.

He considerado la inducción pero mientras que el lado izquierdo se multiplica por el siguiente número impar en el paso de inducción, el lado derecho se vuelve un término más largo y cada término se multiplica por un factor diferente.

Answer 1

Primero note que $$(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^nn!}\;,$$ por lo que la identidad deseada puede escribirse de la siguiente manera

$$\begin{align*} \frac{2(2k-2)!}{2^{k-1}(k-1)!}&=\sum_{i=1}^{k-1}\left(\frac{(2i-2)!}{2^{i-1}(i-1)!}\cdot\frac{\big(2(k-i)-2\big)!}{2^{k-i-1}(k-i-1)!}\binom{k}i\right)\\\\ &=\frac1{2^{k-2}}\sum_{i=1}^{k-1}\frac{(2i-2)!(2k-2i-2)!k!}{i!(i-1)!(k-i)!(k-i-1)!}\\\\ &=\frac{k!}{2^{k-2}}\sum_{i=1}^{k-1}\left(\frac1i\binom{2(i-1)}{i-1}\cdot\frac1{k-i}\binom{2(k-i-1)}{k-i-1}\right)\\\\ &=\frac{k!}{2^{k-2}}\sum_{i=1}^{k-1}C_{i-1}C_{(k-2)-(i-1)}\\\\ &=\frac{k!}{2^{k-2}}\sum_{i=0}^{k-2}C_iC_{(k-2)-i} \end{align*}$$

donde $C_n$ es el $n$-ésimo número Catalán. Ahora haga una pequeña simplificación, aplique una identidad Catalán básica y lo tendrá.