Encontrar la resolvente de una matriz con valores propios dados

Question

Los valores propios de una matriz $3\times 3$ $M$ son $0, i\alpha$ y -$i\alpha$, donde $\alpha >0$.

Demuestra que $$(zI-M)^{-1}=\frac{1}{z}M+\frac{z}{z^2+\alpha^2}M+\frac{1}{z^2+\alpha^2}M^2$$

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Estoy intentando de esta manera: En la base de eigenvalores, la matriz $M$ parece $$M=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&i\alpha&0\\ 0&0&-i\alpha \end{pmatrix}\rightarrow zI-M=\begin{pmatrix} z&0&0\\ 0&z-i\alpha&0\\ 0&0&z+i\alpha \end{pmatrix}$$ $$\text{adj}(zI-M)=\begin{pmatrix} z^2+\alpha^2&0&0\\ 0&z(z+i\alpha)&0\\ 0&0&z(z-i\alpha) \end{pmatrix}$$ $$R(z;M)=\frac{\text{adj}(zI-M)}{p(z)}=\frac{1}{z(z^2+\alpha^2)}\begin{pmatrix} z^2+\alpha^2&0&0\\ 0&z(z+i\alpha)&0\\ 0&0&z(z-i\alpha) \end{pmatrix}$$ El lado derecho de la prueba se puede encontrar explícitamente $$\frac{1}{z}\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&i\alpha&0\\ 0&0&-i\alpha \end{pmatrix}+\frac{z}{z^2+\alpha^2}\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&i\alpha&0\\ 0&0&-i\alpha \end{pmatrix}+\frac{1}{z^2+\alpha^2}\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&-\alpha^2&0\\ 0&0&-\alpha^2 \end{pmatrix}$$ Como puedes ver, el primer coeficiente aquí es cero pero no es el mismo que obtenemos. No entiendo dónde está el error. ¿Alguien puede ayudarme con esto?

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Editar:

Al preguntar, resulta que hay un error tipográfico, debería ser $I/z$ en lugar de $M/z$. Pero dejando esto aparte, tengo otro problema:

$$\text{det}(zI-M)=z(z^2+\alpha^2)\rightarrow \text{det}(zI-M)^{-1}=\frac{1}{z(z^2+\alpha^2)}$$ Pero según mis cálculos $$\text{det} R(z;M)=z(z^2+\alpha^2) $$ ¿Qué está mal con mis cálculos? Es diferente de lo que obtienes simplemente al cuadrar $M$. ¿Qué está mal aquí?

Answer 1

La identidad no puede ser verdadera. Debido a que el determinante del lado izquierdo es distinto de cero y el determinante del lado derecho es cero.

Answer 2

El polinomio mínimo para $M$ es $$ m(z)=z(z-i\alpha)(z+i\alpha)=z(z^2+\alpha^2)=z^3+\alpha^2 z. $$ A partir de esto, puedes determinar el resolvente: \begin{align} m(z)I&=m(z)I-m(M) \\ &=z^3I+\alpha^2 zI-M^3-\alpha^2 M \\ &=(z^3I-M^3)+\alpha^2(zI-M) \\ &=(zI-M)(z^2I+zM+M^2)+\alpha^2(zI-M) \\ &=(zI-M)((z^2+\alpha^2)I+zM+M^2). \end{align} Por lo tanto, $(zI-M)^{-1}$ existe siempre que $m(z)\ne 0$, y es igual a \begin{align} (zI-M)^{-1}&=\frac{1}{m(z)}((z^2+\alpha^2)I+zM+M^2). \end{align}