Vacío Wavefuncional

Question

Tengo este problema para entender la función de onda del vacío en la QFT. De ahí esta pregunta ingenua.

Es decir, si alguien dice función de onda del vacío, puedo pensar en un elemento como la función de onda como en la mecánica cuántica pero ahora una función de campos. Es más fácil resolverlo, creo, en la representación de Schroedinger, como por ejemplo hace Hatfield en el capítulo 10 de su libro QFT de partículas puntuales y cuerdas. Parece que lo he entendido. Paso a paso, fácil. Pero ahora veo que en el formalismo de la integral de trayectorias, digamos en la FT euclidiana, el estado de vacío se define como integral de trayectorias sobre la mitad del espaciotiempo total con alguna condición de contorno fija (B.C) $\psi(\tau=0,x,z)\psi_0(x,z)$ obedece en la frontera del semiespacio y viene dada por $\mathbf{\Psi}[\psi_0]=\int_{fixed B.C}\mathcal{D}\psi e^{-W[\psi]}$ con $W$ la acción. ¿No es una reminiscencia de la función generadora o de partición de una teoría de campo euclidiana?

De todos modos, no entiendo (puede ser también porque no he encontrado una referencia, ¿podrías sugerir una?) por qué es esto y cómo verlo. Una explicación intuitiva sería de gran ayuda. Gracias.

Answer 1

La integral de trayectoria sobre una "capa gruesa" del espaciotiempo produce siempre las amplitudes de transición $$ \langle {\rm final}| U | {\rm initial}\rangle $$ donde $U$ es el operador de evolución unitario apropiado. Esto ya es cierto en la mecánica cuántica no relativista, donde la equivalencia entre el enfoque de la integral de trayectoria de Feynman y el formalismo de operadores se muestra de forma más explícita. La única diferencia en la teoría cuántica de campos es que hay infinitos grados de libertad. Es como tener infinitos componentes de $x_i$ donde el índice discreto $i$ se convierte en continuo y es renombrado como un punto en el espacio, $(x,y,z)$ y $x$ es sustituido y renombrado por los campos $\phi$ Así que $x_i$ se sustituye por $\phi(x)$ .

Significa que si tenemos una "capa gruesa" de espaciotiempo dada por la coordenada temporal $t$ Satisfaciendo a $$ t_0 < t < t_1 $$ entonces la integral de trayectoria con condiciones de contorno $\phi_0$ y $\phi_1$ en el corte inicial y final calcula el elemento de la matriz $$ \langle \phi_1| U | \phi_0 \rangle$$ en plena analogía con (sólo una extensión infinitamente dimensional de) la mecánica cuántica no relativista. Sólo para estar seguros, los estados inicial y final de arriba están realmente dados por el funcional de onda $$ \Psi[\phi(x,y,z)] = \Delta [\phi(x,y,z) - \phi_0(x,y,z)] $$ que se mantiene para uno de ellos (inicial/final) mientras que el otro se obtiene sustituyendo $0$ por $1$ . Hasta aquí, todo es completamente isomorfo al caso de la mecánica cuántica no relativista, excepto que el número de grados de libertad independientes $\hat x$ , ahora llamado $\hat \phi$ es mayor.

La única novedad en la teoría cuántica de campos es que también necesitamos a menudo integrales de trayectoria en las que el estado inicial o final se sustituye por una línea semiinfinita. Cuando se hace así, ya no especificamos una configuración particular en este tramo inicial o final porque realmente no hay tramo inicial o final en este lado (o en ambos lados, si la integral de trayectoria integra sobre configuraciones en todo el espaciotiempo)

No especificamos las condiciones de contorno; de hecho, cuando seguimos las reglas correctas, la integral de trayectoria sustituye inmediata y automáticamente el estado inicial o final (sustituido por la línea semi-infinita o el espacio-tiempo medio) por el estado base $|0\rangle$ o $\langle 0|$ , lo que sea apropiado. ¿Por qué es así? Porque en el formalismo de operadores, dicha integral de trayectoria sigue conteniendo el operador de evolución $$ \exp(\hat H \cdot \Delta t / i\hbar) $$ a lo largo de un período infinito $\Delta t$ . De hecho, el $i\epsilon$ y las reglas relacionadas en la integral de trayectoria - la forma en que tratamos los polos en el plano complejo de energía/momento - realmente garantizan que $$ \Delta t = \infty (1+i \epsilon) $$ donde $\epsilon$ es una constante infinitesimal que sin embargo es mayor que $1/\infty$ donde $\infty$ es el prefactor real positivo anterior. En consecuencia, el exponencial (operador de evolución) anterior contiene el factor de $$ \exp(-\infty \epsilon \hat H ) $$ que está suprimiendo los estados en el estado inicial y/o final correspondiente según su energía. Como $\infty\epsilon$ sigue siendo infinito, todos los estados excitados se suprimen mucho más que el estado de tierra y sólo sobrevive el estado de tierra.

Esto significa que si integramos en la integral de trayectoria de Feynman sobre todas las configuraciones en todo el espaciotiempo, obtenemos automáticamente los elementos de la matriz en el vacío $$ \langle 0 | (\dots ) |0 \rangle .$$ De forma similar, si integramos sobre configuraciones en un espaciotiempo semi-infinito y especificamos la condición de contorno para los campos (asemejándose a una configuración de campo clásica) en la frontera, obtenemos elementos matriciales como $$ \langle 0 | (\dots) | \phi_0 \rangle $$ o los conjugados hermitianos de los mismos donde $\phi_0$ es la condición de contorno. Si los operadores insertados $(\dots)$ son vacíos, sólo un operador de identidad, la expresión anterior se reduce claramente a $$ \langle 0 | \phi_0 \rangle \equiv \Psi^*[\phi_0]$$ donde la última identidad no es más que una generalización de dimensión infinita de $$ \langle \psi| x \rangle = \psi^*(x) $$ en la mecánica cuántica no relativista. Sólo tenemos infinitas $x$ -como los grados de libertad en la teoría cuántica de campos, por lo que las funciones de onda se sustituyen por funcionales de onda.