Invariancia de calibre en electrodinámica

Question

Estoy estudiando Electrodinámica y me han presentado el concepto de Invariancia de Calibre.

Esto se introdujo al notar que $E$ y $B$ representan 6 grados de libertad y las ecuaciones de Maxwell representan 3 grados de libertad. Por otro lado, si escribimos $$E = - \nabla \phi - \frac{\partial A}{\partial t}, \qquad B = \nabla \times A$$

esto tiene 4 grados de libertad.

El grado de libertad adicional forma parte de esta Invariancia de Calibre.

Mis apuntes de clase siguen hablando sobre el calibre de Neumann y el calibre de Lorenz y cómo ambos son opciones 'naturales' para un Calibre.

He venido a Stack Exchange porque estoy bastante confundido. No estoy seguro de qué es incluso un 'calibre' y cuál es su punto. No es obvio a partir de lo que he mencionado anteriormente...

Además, sigo leyendo en mis apuntes de clase y dice que en el calibre de Lorenz, $A$ y $\phi$ satisfacen ecuaciones de onda. Nuevamente, no veo cómo esto es útil, pero tal vez un usuario aquí pueda arrojar luz sobre los calibres y esto tendrá sentido.

Answer 1

Respondiendo a la razón por la que es útil:

En la calibre de Lorenz, las ecuaciones de onda son

$$\mu_{0} \epsilon_{0}\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2}-\vec{\nabla}^2\Phi = \frac{\rho}{\epsilon_{0}},$$

$$\mu_{0} \epsilon_{0}\frac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2}-\vec{\nabla}^2\vec{A} = \mu_{0}\vec{J}$$.

Podemos combinar $\Phi$ y $\vec{A}$ en un 4-vector, llamado el 4-potencial, y combinar las ecuaciones de onda en una única expresión:

$$A^{\mu} = \left(\Phi, \vec{A}\right),$$

$$\partial^{\mu}\partial_{\mu}A^{\alpha} = \frac{4\pi}{c}J^{\alpha}.$$

Con el 4-potencial ahora definido, podemos regresar a los campos y escribirlos en términos de las derivadas de las componentes del 4-potencial:

$$E_{x} = -\left(\partial^{0}A^{1} + \partial^{1}A^{0}\right), \textrm{ etc.}$$

$$B_{x} = -\left(\partial^{2}A^{3} + \partial^{3}A^{2}\right), \textrm{ etc.}$$

(Para las componentes de $\vec{B}$, los índices se permutan de acuerdo al producto cruz.) Queremos que los campos sean invariantes bajo Lorentz, pero en este punto queda claro que no pueden ser reemplazados por un 4-vector ordinario. En su lugar, podemos reemplazarlos con un tensor de campo antisimétrico de rango 2:

$$F^{\alpha\beta} = \partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial^{\beta}A^{\alpha}.$$

Las componentes no nulas de $F^{\alpha\beta}$ son simplemente las componentes de $\vec{E}$ y $\vec{B}$, con signos positivos o negativos dependiendo de la componente específica. Los elementos diagonales de $F^{\alpha\beta}$ se anulan todos.

A partir de aquí, procederíamos a verificar que $F^{\alpha\beta}$ es invariante bajo Lorentz, y finalmente derivamos las ecuaciones de transformación de Lorentz para $\vec{E}$ y $\vec{B}$. La elección de calibre al principio e identificar el 4-potencial $A^{\mu}$ hace que todo esto sea posible.

Todo esto es una elección de calibre, es decir, es una elección de un $\vec{A}$ y $\Phi$ particulares. El calibre de Lorenz es útil porque es invariante bajo Lorentz. Ver ¿Qué es un calibre en una teoría de calibre?.

Answer 2

Mi respuesta editada: El concepto de invarianza de calibre electromagnético es inútil. Es completamente posible formular la teoría del electromagnetismo sin esta invarianza. Consulta mi artículo, del cual estoy orgulloso, en https://arxiv.org/abs/physics/0106078, publicado en Eur. Phys. J. D, vol. 8, p 9-12 (2000).