Sea $\mathbf{V}$ una matriz real simétrica (o compleja Hermitiana) positiva definida de $N \times N$, tal que $\mathrm{det}(\mathbf{V})=1$.
Por medio del teorema de la función implícita, su primer elemento superior izquierdo $[V]_{1,1} \triangleq v_{11} $ puede expresarse como:
- Simétrica (positiva definida) real $\mathbf{V}$: \begin{equation*} [V]_{1,1} \triangleq v_{11} = g_\mathbb{R}(v_{1,2},\ldots,v_{N,N}), \end{equation*} donde $v_{1,2},\ldots,v_{N,N}$ son los $N \times (N+1)/2-1$ elementos de la submatriz triangular superior excepto $v_{11}$,
- Hermitiana (positiva definida) compleja $\mathbf{V}$: \begin{equation*} [V]_{1,1} \triangleq v_{11} = g_\mathbb{C}(v_{1,2},v_{2,1}\ldots,v_{N,N}), \end{equation*} donde $v_{1,2},v_{2,1},\ldots,v_{N,N}$ son los $N^2 - 1$ elementos de $\mathbf{V}$ excepto $v_{11}$,
y $g_{\mathbb{R}}$, $g_{\mathbb{C}}$ son funciones diferenciables (pero no tengo su expresión explícita).
¿Cómo puedo evaluar explícitamente los siguientes vectores (columna) ? \begin{equation*} \mathbf{s}_{\mathbb{C}} = \frac{\partial g([\mathbf{V}]_{2,1},\ldots,[\mathbf{V}]_{N,N})}{\partial \underline{\mathrm{vec}}(\mathbf{V})} \end{equation*} para $\mathbf{V} \in \mathbb{C}^{N \times N}$ (Hermitiana positiva definida) y donde $\mathrm{vec}(\mathbf{V}) \triangleq [v_{11},\underline{\mathrm{vec}}(\mathbf{V})^T]^T$ y
\begin{equation*} \mathbf{s}_{\mathbb{R}} = \frac{\partial g([\mathbf{V}]_{2,1},\ldots,[\mathbf{V}]_{N,N})}{\partial \underline{\mathrm{vech}}(\mathbf{V})} \end{equation*} para $\mathbf{V} \in \mathbb{R}^{N \times N}$ (simétrica positiva definida) y donde $\mathrm{vech}(\mathbf{V}) \triangleq [v_{11},\underline{\mathrm{vech}}(\mathbf{V})^T]^T$ y $\mathrm{vech}$ es la vectorización (por columnas) de la parte triangular superior de $\mathbf{V}$.
¡Gracias!
