Calcular una buena aproximación de $\lim_{x\to\infty}\int_2^x e^{-\pi(t)}dt$, donde $\pi(x)$ es la función de conteo de primos.

Question

Inspirado en la definición de la constante de Golomb-Dickman, ver por ejemplo en la página 529 de [1] (acceso gratuito desde la web de la AMS), considero $$\int_2^x e^{-\pi(t)}dt,$$ donde $\pi(x)$ es la función de conteo de primos, ver su definición por ejemplo en este MathWorld.

Pregunta. ¿Cómo podemos calcular una buena aproximación de $$\int_2^\infty e^{-\pi(x)}dx?$$ Muchas gracias.

Referencias:

[1] Lagarias, Constante de Euler: trabajo de Euler y desarrollos modernos, Boletín de la Sociedad Matemática Americana, 50 (4), (2013).

Answer 1

Numéricamente, esto no parece representar ningún problema si consideramos $$f_n=\int_{p_n}^{p_{n+1}} e^{-\pi (x)} \, dx\qquad \text{y}\qquad g_m=\sum_{n=1}^m f_n=\sum_{n=1}^{m} (p_{n+1}-p_n)\, e^{-n}$$ (ver el comentario de Antonio Vargas).

A continuación se presenta una tabla de los valores generados $$\left( \begin{array}{cc} m & g_m \\ 5 & 0.82486259393350324671035177334581504486982084749638 \\ 10 & 0.83877447576693280717388127491652502994294656859973 \\ 15 & 0.83890894500870098130370987262554128951261245468174 \\ 20 & 0.83890982093187513586368658110075745562346018599660 \\ 25 & 0.83890982757047394666269786169926490186502317042721 \\ 30 & 0.83890982759192065348095727852873887161463474591048 \\ 35 & 0.83890982759216205543854829896368181611163602891794 \\ 40 & 0.83890982759216417947988624151469749806143841461256 \\ 45 & 0.83890982759216418914669475325279067175180058855706 \\ 50 & 0.83890982759216418932707086649050466597792079421674 \\ 55 & 0.83890982759216418932767382058216343894327616862031 \\ 60 & 0.83890982759216418932767754181410766698373920809439 \\ 65 & 0.83890982759216418932767759291902842598347660179781 \\ 70 & 0.83890982759216418932767759330393721260699403750457 \\ 75 & 0.83890982759216418932767759330541827711774044359378 \\ 80 & 0.83890982759216418932767759330542819614193086258447 \\ 85 & 0.83890982759216418932767759330542823811431792371867 \\ 90 & 0.83890982759216418932767759330542823854636033633091 \\ 95 & 0.83890982759216418932767759330542823855117010762525 \\ 100 & 0.83890982759216418932767759330542823855119385370828 \\ 105 & 0.83890982759216418932767759330542823855119403474903 \\ 110 & 0.83890982759216418932767759330542823855119403596887 \\ 115 & 0.83890982759216418932767759330542823855119403597417 \\ 120 & 0.83890982759216418932767759330542823855119403597418 \end{array} \right)$$

Los calculadores simbólicos inversos no encuentran nada que se parezca a este número.

Edición

Lo que parece interesante es que, al calcular hasta $m=5000$, una simple regresión lineal conduce a $$\log_{10}(g_{m+1}-g_m)=-0.434167\, m$$ mostrando que las $50$ cifras significativas se obtienen para $m=116$ (como se muestra en la tabla) y que las $100$ cifras significativas se obtienen para $m=231$ (lo cual ha sido verificado).