Cálculo del operador adjunto

Question

Estoy luchando con la computación del operador adjunto $T^*$ para el siguiente operador dado $T$:

Sea $T: \mathbb{R}^n \rightarrow L^2(0,1), u_0 \mapsto u(t)$, donde $u(t)$ se da mediante \begin{align*} u'(t) &= Au, t>0\\ u(0) &= u_0 \end{align*}

Sé que el operador adjunto está definido a través de la ecuación \begin{align*} \langle T^*v, u_0 \rangle_2 = \langle v, Tu_0\rangle_{L^2(0,1)} \end{align*} Dado que $T$ está definido de manera implícita a través de la ecuación diferencial dada, supuse que $T^*$ también tiene que ser definido de manera similar a través de otra EDO. Intenté lo siguiente:

\begin{align*} \langle T^*v, u_0 \rangle_2 = \langle v, Tu_0\rangle_{L^2(0,1)} = \int_0^1 v(t) \cdot Tu_0(t) dt = \int_0^1 v(t) \cdot u(t) dt \end{align*} Luego intenté usar la integración por partes pero eso no parecía ayudar ya que no hay derivadas en la integral. ¿Alguien puede darme una pista?

Editar: Estoy buscando una representación de $T^*$ que se derive de la solución del problema adjunto correspondiente. Así que intenté derivar ecuaciones que tienen que ser satisfechas por $v$. Desafortunadamente, no tuve mucho éxito hasta ahora.

¡Gracias de antemano :)

Answer 1

En este caso específico, puedes encontrar la fórmula explícita para $T$: $u(t)=e^{At}u_{0}$. Aquí $e^{At}$ está definido en términos de la expansión usual de Taylor de la función exponencial, evaluada en la matriz $At$. Por el teorema de Picard-Lindelöf, la solución $u(t)$ debe ser única, y la elección particular $u(t)=e^{At}u_{0}$ satisface la ecuación, por lo que debe ser la solución única. (O, puedes mostrar directamente que debe ser la solución verificando que $e^{-At}u(t)$ debe tener derivada cero, por lo que debe ser una constante.)

Por lo tanto, en tu ecuación $$ \left\langle T^{*}v,u_{0} \right\rangle_{2} = \int_{0}^{1}v(t)\cdot u(t)\,dt, $$ el lado derecho es igual a $$ \int_{0}^{1} v(t)\cdot e^{At}u_{0}\,dt = \left(\int_{0}^{1}e^{A^{*}t}v(t)\,dt\right)\cdot u_{0} $$ (aquí usamos la identidad $(e^{At})^{*}=e^{A^{*}t}$), por lo tanto concluyes $$ T^{*}v = \int_{0}^{1}e^{A^{*}t}v(t)\,dt. $$ Probablemente también sea posible obtener una fórmula similar cuando la EDO es de forma más general. No estoy seguro de qué afirmación precisamente sería.

Editar

Respecto a tu comentario. Considera la EDO \begin{align*} w'(t) &= -A^{*}w(t) - v(t), \\ w(1) &= 0. \end{align*} Entonces, con algunos cálculos similares, puedes ver que la solución se da como $$ w(t) = e^{-A^{*}t}\int_{t}^{1}e^{A^{*}\tau}v(\tau)\,d\tau. $$ Entonces, $T^{*}v$ es precisamente $w(0)$. En otras palabras, estás considerando la EDO lineal con la matriz de coeficientes $A^{*}$ en lugar de $A$, mientras que la entrada $v$ actúa como el "término forzante", y estás resolviendo la EDO "hacia atrás", por lo que estás fijando el "valor final" en lugar del "valor inicial". Los signos negativos en la EDO también tienen en cuenta la dirección del tiempo hacia atrás. Luego, la salida de $T^{*}$ es el valor inicial de la EDO.

(El "caso general" que mencioné al final de la respuesta antes de la edición probablemente sería algo similar.)

Ahora, dado que $T^{*}$ se da en términos de la solución $w$ de la EDO anterior, se puede derivar directamente de la siguiente manera, que probablemente es lo que deseas. Dado que $$ v(t) = -A^{*}w(t) - w'(t), $$ podemos escribir \begin{align*} \left\langle T^{*}v,u_{0} \right\rangle_{2} &= -\int_{0}^{1}A^{*}w(t)\cdot u(t) + w'(t)\cdot u(t)\,dt \\ &= -\int_{0}^{1}w(t)\cdot Au(t) + w'(t)\cdot u(t)\,dt \\ &= -\int_{0}^{1}(w(t)\cdot u(t))'dt \\ &= -(w(1)\cdot u(1) - w(0)\cdot u(0)) \\ &= w(0)\cdot u_{0}, \end{align*} así que obtenemos $T^{*}v = w(0)$.