¿Cómo resolver este sistema lineal particular?

Question

Entonces tengo este sistema lineal:

$$ \begin{align*} -u + v &= y_1\\ u + v &= y_2 \\ 2u + v &= y_3 \end{align*} $$

Después de hacer la eliminación gaussiana, obtengo:

$$ \begin{align*} u = y_3 - y_2 \\ v = 2y_2 - y_3 \\ y_1 -3y_2 + 2y_3 = 0 \end{align*} $$

Se me pide encontrar para qué valores de $y_1, y_2, y_3$ este sistema tiene solución. La respuesta a eso sería:

$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 2 \\ \end{array} \right] * \left[ \begin{array}{ccc} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array} \right] = 0$$

es decir, el espacio nulo. ¿Cómo encuentro una base para el espacio nulo?

Answer 1

Claramente dos vectores independientes del espacio nulo son $a_1 = (3, 1, 0)^t$ y $a_2 = (2, 0, -1)^t$.

Answer 2

La solución más fácil es simplemente adivinar dos vectores linealmente independientes que satisfagan la condición, como $(3,1,0)$ y $(2,0,-1)$.

Si eso no es lo suficientemente sistemático para ti, toma $(1,-3,2)$ y añade una base conocida para todo el espacio, como $\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3$. Luego usa el proceso de Gram-Schmidt en la lista resultante de 4 vectores. Necesitarás descartar uno cuando resulte que no es linealmente independiente de los anteriores. En la base resultante para $\mathbb R^3$, elimina el primero (que será proporcional a $(1,-3,2)$); los otros dos son una base para el complemento ortogonal.

Answer 3

Si estás en 3 dimensiones, entonces $y_1-3y_2+2y_3=0$ es la ecuación cartesiana de un plano. Elige valores para dos de los tres parámetros y eso determinará el tercero.