¿Cuándo es la diferencia de dos funciones convexas convexa?

Question

Supongamos que $X$ es un espacio de Banach de dimensión finita. Sé que, en general, si dos funciones $f, g : X \to \mathbb{R}$ son convexas, entonces la función $(f-g) : X \to \mathbb{R}$ dada por $x \mapsto f(x) - g(x)$ no necesariamente es convexa. ¿Existen condiciones que podamos imponer en $f$ y $g$ para que la diferencia siga siendo convexa, por ejemplo, si $f(x) \geq g(x)$ para todo $x$, entonces ¿podemos decir que es convexa?

¿Existen resultados sobre la convexidad de la diferencia de funciones convexas?

Answer 1

Para cualquier función de valores reales $h$, $\alpha\in[0,1]$ y $x,y$ en el dominio (convexo), se tiene que $$ D(h,\alpha,x,y)=\alpha h(x)+(1-\alpha)h(y)-h[\alpha x+(1-\alpha)y]. $$ La convexidad de $h$ significa que $D(h,\alpha,x,y)\geq 0$ para todo $\alpha,x,y$.

Para tu situación, una condición suficiente para que $f-g$ sea convexa es que $$ D(f,\alpha,x,y)\geq D(g,\alpha,x,y)\tag{i) $$ para todo $\alpha,x,y$. (Yo pienso en esto como que $f$ es "más convexa" que $g"). Nota que (i) no impone directamente convexidad en $f$ y $g$. Por ejemplo, si $f(x)=-x^2$ y $g(x)=-2x^2$ cumplen (i) entonces $f-g$ es convexa pero $f$ y $g$ son individualmente cóncavas.

Cuando el dominio es $\mathbb{R}$ y tanto $f$ como $g$ son ambas dos veces diferenciables, también es suficiente tener $$ f''\geq g''\tag{ii}. $$

Answer 2

$f\ge g$ no es suficiente: por ejemplo, toma $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ y $g(x)=|x|$ (con $X=\mathbb R$); por otro lado, toma $f(x)=|x|$ y $g(x)=\max\ \{0,|x|-1\}$.