Pregunta:
¿Cuál es la definición general de una partícula estados $|\vec p\rangle$ en una interacción de QFT? Por general me refiero a que no perturbativa y no asintótica.
Contexto. 1)
Por ejemplo, en Weigand notas, página 42, se puede leer (editado por mi):
Como $[H,\vec P]=0$, estos operadores pueden ser diagonalised simultáneamente. Escribir los autoestados como $$\begin{aligned} H|\lambda(\vec p)\rangle&=E(\lambda)|\lambda(\vec p)\rangle\\ \vec P|\lambda(\vec p)\rangle&=\vec p|\lambda(\vec p)\rangle \end{aligned}\etiqueta{1}$$ Una partícula estados son los con $E(\vec p)=\sqrt{\vec p^2+m^2}$.
Para mí, esto es en la pista de la derecha como una definición general, porque estamos definiendo $|\vec p\rangle$ como los estados propios de los operadores que conmutan, lo cual está bien. Pero hay algunos problemas con esta definición:
¿Por qué es $E$ una función de $\vec p$? ¿por qué es $E$ no, un sello independiente en $|\vec p\rangle$? Como $p_x,p_y,p_z$ son independientes, ¿por qué es $p_0$ no independiente como bien$^{[1]}$?
Una vez que sabemos que $E=E(\vec p)$, ¿cómo podemos saber que $E^2-\vec p^2$ es una constante? (podemos definir de la masa como de la constante, pero sólo una vez que sabemos que es en realidad una constante). Por covarianza, puedo ver que $p^2$ tiene que ser un escalar, pero no estoy seguro de cuál es la razón de que esta escalar tiene que ser independiente de $p$ (por ejemplo, en principio podríamos tener $p^2=m^2+p^4/m^2$).
¿Cómo sabemos que estos $|\vec p\rangle$ son no degenerados? ¿Por qué no tenemos, por ejemplo, $H|\vec p,n\rangle=E^n(\vec p)|\vec p,n\rangle$,$E^n\sim \alpha/n^2$, como en el átomo de hidrógeno?
Estas propiedades son esenciales para demostrar, por ejemplo, la Källén-Lehmann representación espectral, que es en sí, un no-perturbativa, no asintótica resultado.
Contexto. 2)
En Srednicki del libro, página 53, se puede leer (editado por mi):
Veamos ahora a $\langle p|\phi(x)|0\rangle$ donde $|p\rangle$ es una partícula estado con cuatro impulso $p$. El uso de $\phi(x)=\mathrm e^{iPx}\phi(0)\mathrm e^{-iPx}$, podemos ver que $$ \langle p|\phi(x)|0\rangle=\mathrm e^{ipx} \etiqueta{2} $$
Esto sólo funciona si $P^\mu|p\rangle=p^\mu|p\rangle$, que podríamos tomar como la definición de $|p\rangle$. Sin embargo, de nuevo, no sé por qué nos esperaría $p^2$ a ser una constante (que podríamos identificar con la masa). O ¿por qué los autoestados de $P^\mu$ no degenerada.
La expresión $(2)$ es esencial para la dispersión de la teoría, pero el resultado sí es supuestamente no asintótica (a la derecha?). También, se corrige el residuo de los dos puntos de función, que es uno de los renormalisation condiciones de la auto-energía ($\Pi'(m^2)=0$). Esto significa que $(2)$ es un resultado importante, así que me gustaría tener una definición formal de $|p\rangle$.
$^{[1]}$ en el estándar de la no-relativista QM, $E$ es una función de $\vec p$ porque $H$ es una función de $\vec P$. Pero en QFT, $H$ no es una función de $\vec P$, es un operador diferente.
