Mi pregunta se refiere a lo que supongo se llamaría el método general de las características para ecuaciones de tercer orden. Estoy buscando una EDP para una función de dos variables $x$ y $y$ teniendo una curva característica en la forma $$ y^2=x^3+\alpha x+\beta. $$ Este tipo de curva se llama una curva elíptica. $\alpha$ y $\beta$ son dos constantes y el discriminante elíptico es tal que la curva es no singular (obviamente). Voy a hacer un ejemplo usando el método de las características para ecuaciones de primer orden, y luego diré más precisamente lo que estoy buscando una vez que haya establecido el contexto. Dada una función $u(x,y)$ y $$ \partial_x u+\alpha\,\partial_y u=0, $$ Siguiendo lo que entiendo que es el procedimiento algorítmico normal para resolver tales EDPs, introduciré $$ \dfrac{dy}{ds}=\alpha\qquad\qquad \dfrac{dx}{ds}=1\qquad\qquad \dfrac{dz}{ds}=0. $$ La integración produce $$ y(s)=as+c_1\qquad\qquad x(s)=s+c_2 \qquad\qquad z(s)=c_3. $$ Eliminando $s$, encontramos que las curvas características para la EDP se dan por las siguientes líneas en $\mathbb{R}^3$: $$ y-\alpha x=y_0\qquad\text{and}\qquad z=k. $$ Aquí, $y_0$ y $k$ son dos constantes. Se deduce que $z(x,y)$ es constante cuando $y-\alpha x$ es constante. Estableciendo $u=z$, encontramos que $u(x,y)=f(y-\alpha x)$ es una solución a la EDP establecida.
Ahora, mi pregunta: Quiero encontrar una EDP para $u(x,y)$ cuya curva característica en el plano de esas variables (significando el análogo de $y-\alpha x=y_0$) sea una curva elíptica.
