La base ortonormal completa sobre $L^2(-\infty,+\infty)$ acerca de los polinomios de Hermite.

Question

Prueba que $\{\varphi_n(t)=(2^n n! \sqrt{\pi})^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{t^2}{2}}H_n(t)\}_{n=0}^{\infty}$ son la base ortonormal completa en $L^2(-\infty,+\infty)$ donde $H_n(t)$ son los polinomios de Hermite.

Ya he demostrado que $\{\varphi_n(t)\}$ son ortonormales usando el truco de "Integración por partes". Pero tengo dificultades para demostrar la completitud. Quiero usar la densidad de las funciones continuas con soporte compacto en $L^2(-\infty,+\infty)$ y usar polinomios para aproximar esas funciones continuas, y luego usar las propiedades de la integral $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}p(t)dt$ donde $p(t)$ es un polinomio. Pero fallé.

Quiero saber si estoy en el camino correcto. Y si no es correcto, ¿cuál es la manera correcta de hacerlo?

Cualquier tipo de ayuda es apreciada ¡y gracias de antemano!

Answer 1

Hay una maquinaria agradable para demostrar que los polinomios son densos en ciertos espacios ponderados $L^2$, que involucra algunas herramientas hermosas de análisis complejo. En este caso particular, la prueba es bastante simple y se sigue de la teoría estándar del espacio de Hilbert en $L^2(\mathbb{R})$.

Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de polinomios con coeficientes complejos. Según los comentarios, llegamos a un acuerdo de que basta con demostrar que $$ S = \left\{e^{-t^2 /2}p(t): p \in \mathcal{P} \right\}. $$ forma un subespacio denso en $L^{2}(\mathbb{R})$. Esto es equivalente a demostrar que el complemento ortogonal de $S$ en $L^2(\mathbb{R})$, denotado por $S^\perp$ consiste únicamente de la función cero, es decir, $S^\perp = \{0\}$. Sea $f\in S^\perp$, es decir, $$ \int_\mathbb{R} f(t)\,t^n \, e^{-t^2 /2}dt = 0 \qquad ,\forall n\geq 0. $$ Consideremos la transformada de Fourier de $f(t)e^{-t^2 /2}$, definida por $$ F(\xi) := \int_{\mathbb{R}}f(t) e^{-t^2 /2 } \, e^{-it\xi} dt \qquad, \, \xi \in \mathbb{R}. $$ Una simple expansión en series (fácil de justificar mediante el teorema de convergencia dominada, por ejemplo) muestra que $$ F(\xi) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-i\xi)^n}{n!} \underbrace{\int_{\mathbb{R}}f(t)\,t^n\, e^{-t^2 /2} dt}_{=0} = 0 \qquad, \, \forall \xi \in \mathbb{R}. $$ Dado que $\varphi(t)=f(t)e^{-t^2 /2} \in L^2$, se deduce que por el teorema de Parseval $$ \int_{\mathbb{R}} \left| f(t)e^{-t^2/2} \right|^2 dt = \int_{\mathbb{R}} \left|F(\xi) \right|^2 d\xi = 0. $$ Esto implica que $f(t) \equiv 0$, por lo tanto concluimos que $S$ es denso en $L^2(\mathbb{R})$.