Logaritmo: octava y década

Question

Estoy teniendo dificultades para encontrar un divisor común entre una octava y una década.

El doblamiento de un valor, digamos de $1$ a $2$, corresponde a una diferencia de $20\, \log_{10}(2) = 6.020600$ dB a $6$ dígitos decimales. Por lo tanto, hay una diferencia de una octava entre estos dos valores de amplitud. Dividamos este valor en dB en tres partes. Esto corresponde a dividir el intervalo entre $1$ y $2$ en tres partes iguales. Un intervalo representará entonces $2.006867$ dB. Esto corresponde a una razón de $10^{\frac{2.006867}{20}}=1.259921.$

Entonces, si tomo el número $1$ y lo multiplico por $1.259921$ tres veces sucesivamente, obtengo el valor de $2$ (en realidad $2.000000$ al realizar el cálculo).

Observo que $2^{\frac{1}{3}}$ es igual a la razón $1.259921$ obtenida anteriormente a $6$ dígitos decimales.

Continúo con la Década. Si considero los números $1$ y $10$, hay una diferencia de $20\, \log_{10}(10) = 20$ dB. Hay una diferencia de una década entre los dos valores de amplitud $1$ y $10$. Divido este intervalo en $10$ partes iguales, de modo que cada parte corresponda a $2$ dB. Esto corresponde a una razón de $10^{\frac{2}{20}}=1.258925$ a $6$ dígitos decimales. Así que tomando el número $1$ y multiplicándolo por $1.258925$ diez veces sucesivamente, se obtiene el valor de $10$ (en realidad $9.99967$).

A partir de los resultados anteriores para la parte de la octava y la parte de la década, observamos que:

$$2^{\frac{1}{3}}\simeq 1.259921 \neq 10^{\frac{2}{20}} \quad \text{i.e.} \quad 1.258925$$

Si hubiera utilizado $2^{\frac{1}{3}}\simeq 1.259921$ en mi discusión sobre la Década, entonces multiplicar el número $1$ por $2^{\frac{1}{3}}$ diez veces sucesivamente produciría $8 \times 2^{\frac{1}{3}} = 10.079368$ y no exactamente $10$.

Mi pregunta es la siguiente:

Cuando divido una distancia que representa una octava en $3$ intervalos, un factor de multiplicación en cada intervalo de $2^{\frac{1}{3}}$ da exactamente una octava después de los $3$ intervalos (es decir, el número $1$ se convierte en $2$), pero ¿por qué este factor de multiplicación de $2^{\frac{1}{3}}$ no puede producir un resultado preciso para una distancia de una década dado que una década es una razón de $10$ veces? Hemos visto que usar $2^{\frac{1}{3}}$ como factor de multiplicación llevará al número $1$ y terminará con $10.079368$. Si divido una octava en $3$ partes, entonces una Década debe tener $10$ partes. El factor de multiplicación de $2^{\frac{1}{3}}$ funciona perfectamente para una octava, pero extrañamente no para una década.

Answer 1

Recuerda que los interruptores de $3dB$ son para controles de volumen? La diferencia de potencia mínima absoluta que el oído puede detectar es de aproximadamente $\phi=1.618...$ y $2$ está apenas por encima de eso en cuanto a nuestra capacidad para percibir la diferencia. Bueno, $10^{0.3010}=2$ y aproximadamente $\frac{3}{10}$ de una potencia de $10$ es donde obtenemos el $3$ en $3dB$. Cada clic táctil en un interruptor de $3dB$ aumenta o disminuye la potencia de sonido por un factor de $2$.

Entonces, si $10^{0.3010...}=2$, entonces elevarlo al cubo haría que $10^{0.9030...}=8$.

Observa que $10^{0.1}\approx 1.259...$ así que elevarlo al cubo haría que $10^{0.3}\approx 2$.

Por lo tanto, tomar $8*2^\frac{1}{3}$ es casi lo mismo que $8*1.25=10$.

Si consideras todo esto en conjunto, verás que [deci]Bells, Octavas y Décadas son simplemente logaritmos en base $10$ a menos que desees variar con base $2$ u otra.

Todos estos logaritmos son aproximados así que no te desanimes si no salen exactos. Para un estudio más detallado de los logaritmos y Bells, visita aquí.

Answer 2

No hay ninguna potencia de $2$ que sea una potencia de $10$. Por lo tanto, la razón

$$\frac{\log10}{\log2}=3.32192809\cdots$$ es irracional, y no es igual a $\frac{10}3$ (por la misma razón que $2^{10}=1024\ne1000=10^3$ y $\sqrt[3]2\ne\sqrt[10]10$).