Estoy teniendo dificultades para encontrar un divisor común entre una octava y una década.
El doblamiento de un valor, digamos de $1$ a $2$, corresponde a una diferencia de $20\, \log_{10}(2) = 6.020600$ dB a $6$ dígitos decimales. Por lo tanto, hay una diferencia de una octava entre estos dos valores de amplitud. Dividamos este valor en dB en tres partes. Esto corresponde a dividir el intervalo entre $1$ y $2$ en tres partes iguales. Un intervalo representará entonces $2.006867$ dB. Esto corresponde a una razón de $10^{\frac{2.006867}{20}}=1.259921.$
Entonces, si tomo el número $1$ y lo multiplico por $1.259921$ tres veces sucesivamente, obtengo el valor de $2$ (en realidad $2.000000$ al realizar el cálculo).
Observo que $2^{\frac{1}{3}}$ es igual a la razón $1.259921$ obtenida anteriormente a $6$ dígitos decimales.
Continúo con la Década. Si considero los números $1$ y $10$, hay una diferencia de $20\, \log_{10}(10) = 20$ dB. Hay una diferencia de una década entre los dos valores de amplitud $1$ y $10$. Divido este intervalo en $10$ partes iguales, de modo que cada parte corresponda a $2$ dB. Esto corresponde a una razón de $10^{\frac{2}{20}}=1.258925$ a $6$ dígitos decimales. Así que tomando el número $1$ y multiplicándolo por $1.258925$ diez veces sucesivamente, se obtiene el valor de $10$ (en realidad $9.99967$).
A partir de los resultados anteriores para la parte de la octava y la parte de la década, observamos que:
$$2^{\frac{1}{3}}\simeq 1.259921 \neq 10^{\frac{2}{20}} \quad \text{i.e.} \quad 1.258925$$
Si hubiera utilizado $2^{\frac{1}{3}}\simeq 1.259921$ en mi discusión sobre la Década, entonces multiplicar el número $1$ por $2^{\frac{1}{3}}$ diez veces sucesivamente produciría $8 \times 2^{\frac{1}{3}} = 10.079368$ y no exactamente $10$.
Mi pregunta es la siguiente:
Cuando divido una distancia que representa una octava en $3$ intervalos, un factor de multiplicación en cada intervalo de $2^{\frac{1}{3}}$ da exactamente una octava después de los $3$ intervalos (es decir, el número $1$ se convierte en $2$), pero ¿por qué este factor de multiplicación de $2^{\frac{1}{3}}$ no puede producir un resultado preciso para una distancia de una década dado que una década es una razón de $10$ veces? Hemos visto que usar $2^{\frac{1}{3}}$ como factor de multiplicación llevará al número $1$ y terminará con $10.079368$. Si divido una octava en $3$ partes, entonces una Década debe tener $10$ partes. El factor de multiplicación de $2^{\frac{1}{3}}$ funciona perfectamente para una octava, pero extrañamente no para una década.
