Varianza de la Norma de un Vector Aleatorio Gaussiano

Question

Si $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}_N(\mathbf{m}, \mathbf{C})$ es un vector gaussiano de $N$ dimensiones, donde $\mathbf{m} \in \mathbb{R}^N$ y $\mathbf{C} \in \mathbb{R}^{N \times N}$, ¿cuál es la varianza de $$ Y=\|\mathbf{X}\|^2 $$ donde $\|\cdot\|$ denota la norma $L_2$ (norma euclidiana)?

Como señalado por esta pregunta, $Y$ tiene una distribución ji-cuadrada generalizada y su media se puede obtener fácilmente. Sin embargo, quiero saber cuál es su varianza. ¿Puede alguien por favor darme algo de ayuda?

Answer 1

Dado que $\mathrm{Var}(Y) = \mathbb{E} Y^2 - (\mathbb{E} Y)^2$ y este último se conoce, se reduce a calcular $\mathbb{E} Y^2$. Ahora $Y^2 = (\sum_{i=1}^N X_i^2)^2 = \sum_{i=1}^N X_i^4 + \sum_{i \ne j} X_i^2 X_j^2$, por lo que $\mathbb{E} Y^2 = \sum_{i=1}^N \mathbb{E} X_i^4 + \sum_{i \ne j} \mathbb{E} X_i^2 X_j^2$. Al poner las fórmulas para $\mathbb{E} X_i^4$ y $\mathbb{E} X_i^2 X_j^2$ usando el hecho de que $X \sim N(m, C)$ (las fórmulas para los momentos en Wikipedia para la distribución normal y la versión multivariante podrían ser útiles), habrías terminado después de un poco de trabajo algebraico duro. Por ejemplo, si tomamos $m = 0$ para simplicidad, entonces $\mathbb{E} X_i^4 = 3 C_{ii}^2$ y $\mathbb{E} X_i^2 X_j^2 = C_{ii} C_{jj} + 2 C_{ij}^2$.

Answer 2

$X\sim m+C^{1/2}Z$ donde $Z\sim N(0,I_n).$ Escribe $C=U^TD^2U$ donde $U$ es ortogonal y $D=\mathrm{diag}(c_1,\ldots,c_n).$ Dado que $UZ\sim Z$ tenemos $X\sim m+DZ.$ Denota $c=(c_1,\ldots,c_n)$ y $mc=(m_1c_1,\ldots,m_nc_n).$ Por lo tanto $$Y\sim \|m\|^2+2\langle m,DZ \rangle +\|DZ\|^2=\|m\|^2+2\langle mc,Z \rangle +\|DZ\|^2$$ lo que implica $$E(Y)=\|m\|^2+0+\|c\|^2=\|m\|^2+\mathrm{trace }\, C.$$ Luego $$E(Y^2)= E\left((\|m\|^2+2\langle mc,Z \rangle +\|DZ\|^2)^2\right)=\|m\|^4+\|mc\|^2+2\|m\|^2\|c\|^2+E(\|DZ\|^4)$$ ya que el término impar $\langle mc,Z \rangle \times \|DZ\|^2$ tiene una expectativa de $0.$ Nos queda calcular $$E(\|DZ\|^4)=3\sum_{i=1}^nc_i^4+2\sum_{i Finalmente (por favor verifica, podría haber errores) $$\sigma^2(Y)=\|mc\|^2+2\, \mathrm{trace }\, C^2.$$