En clase vimos que $-1$ tiene infinitas raíces cuadradas en el anillo de cuaterniones. ¿Es posible calcular las raíces cuadradas de un cuaternión no real dado? ¿Qué aspecto tienen?
Con los cuaterniones no reales siempre podemos encontrar dos raíces cuadradas.
Se puede escribir cualquier cuaternión en la forma $$ q=a+b\vec{u}, $$ donde $a$ y $b$ son reales, y $\vec{u}$ es un vector unitario. Probablemente sabes que como un cuaternión $\vec{u}^2=-1$ . Por lo tanto, podemos tratar $\vec{u}$ como si fuera la unidad imaginaria habitual $i$ de los números complejos. Así que podemos utilizar las técnicas habituales para encontrar raíces cuadradas de números complejos.
Obsérvese que con los cuaterniones no reales sólo obtenemos dos raíces cuadradas. Esto se debe a que el cuadrado del cuaternión anterior es $$ q^2=(a^2-b^2)+2ab\vec{u}. $$ Para que esto no sea real, necesitamos tanto $a$ y $b$ sea distinto de cero. Por lo tanto, siempre que $q_1^2=q_2$ para algunos cuaterniones $q_1,q_2$ donde $q_2\notin\mathbb{R}$ deben estar en el mismo plano estar en el mismo plano, es decir, deben ser combinaciones lineales de $1$ y el mismo vector unitario $\vec{u}$ . Esto significa que $q_1$ y $q_2$ deben pertenecer a la misma copia de $\mathbb{C}=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\vec{u}$ . Como cualquier número complejo sólo tiene dos raíces cuadradas, lo mismo ocurre con los cuaterniones no reales por este motivo.
Interesante. En el campo de los cuaterniones $\mathbb{H}$ Sólo los números reales negativos tienen infinitas raíces cuadradas, mientras que todos los demás cuaterniones sólo tienen dos raíces cuadradas. ¿Es esto cierto y se generaliza a $n$ -¿Raíces?
@ZhuoranHe Creo que el argumento anterior se aplica a $n$ raíces de cuaterniones no reales también. Pero si $n>2$ hay infinitos $n$ a raíz de la unidad en $\Bbb{H}$ a cada vector unitario $\vec{u}$ tenemos $n-1$ no real $n$ a raíz de la unidad en $\Bbb{R}\oplus\Bbb{R}\vec{u}$ . Por lo tanto, todos los reales tienen un número infinito de $n$ a las raíces en $\Bbb{H}$ .
Lo entiendo. Siempre que hay ruptura de simetría, por ejemplo. $\sqrt{-1}=\pm i$ , $1^{1/3}=1, e^{\pm2\pi i/3}$ en $\mathbb{C}$ Los cuaterniones dirían que el $\pm i$ es de hecho un número infinito de direcciones $ai+bj+ck\in\mathbb{H}$ con $a^2+b^2+c^2=1$ .
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Establezca las ecuaciones para $q^2 = a$ a ver qué puedes sacar de ellos.