Raíces cuadradas de cuaterniones

Question

En clase vimos que $-1$ tiene infinitas raíces cuadradas en el anillo de cuaterniones. ¿Es posible calcular las raíces cuadradas de un cuaternión no real dado? ¿Qué aspecto tienen?

Answer 1

Con los cuaterniones no reales siempre podemos encontrar dos raíces cuadradas.

Se puede escribir cualquier cuaternión en la forma $$q=a+b\vec{u},$$ donde $a$ y $b$ son reales, y $\vec{u}$ es un vector unitario. Probablemente sabes que como un cuaternión $\vec{u}^2=-1$ . Por lo tanto, podemos tratar $\vec{u}$ como si fuera la unidad imaginaria habitual $i$ de los números complejos. Así que podemos utilizar las técnicas habituales para encontrar raíces cuadradas de números complejos.

Obsérvese que con los cuaterniones no reales sólo obtenemos dos raíces cuadradas. Esto se debe a que el cuadrado del cuaternión anterior es $$q^2=(a^2-b^2)+2ab\vec{u}.$$ Para que esto no sea real, necesitamos tanto $a$ y $b$ sea distinto de cero. Por lo tanto, siempre que $q_1^2=q_2$ para algunos cuaterniones $q_1,q_2$ donde $q_2\notin\mathbb{R}$ deben estar en el mismo plano estar en el mismo plano, es decir, deben ser combinaciones lineales de $1$ y el mismo vector unitario $\vec{u}$ . Esto significa que $q_1$ y $q_2$ deben pertenecer a la misma copia de $\mathbb{C}=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\vec{u}$ . Como cualquier número complejo sólo tiene dos raíces cuadradas, lo mismo ocurre con los cuaterniones no reales por este motivo.