Función de densidad conjunta de $T_1, T_2$ y expectativa de $E[T_1 ^2 + T_2 ^2]$

Question

Dado que $T_1, T_2$ son variables aleatorias que representan la vida útil (en horas) de dos electrodomésticos.

La función de probabilidad conjunta de dos variables distribuidas uniformemente en el dominio de:

$$0\leq t_1\leq t_2 \leq L$$ ($L$ una constante positiva)

Necesito demostrar que la función de densidad conjunta de $T_1, T_2$ es igual a $\frac{2}{L^2}$.

Y calcular la esperanza de $$E\left[T_1 ^2 +T_2 ^2 \right]$$

Me gustaría saber cómo empezar con esta pregunta?

Gracias.

Answer 1

$$ \operatorname{E}(T_1^2+T_2^2) = \iint\limits_\text{dominio} (t_1^2 + t_2^2) f(t_1,t_2)\, d(t_1,t_2) $$ donde $f$ es la función de densidad conjunta. Decir que el par $(T_1,T_2)$ está uniformemente distribuido en el dominio significa que $f$ es constante en el dominio. Por lo tanto, el valor esperado es $$ \operatorname{E}(T_1^2+T_2^2) = \iint\limits_\text{dominio} (t_1^2 + t_2^2) c \, d(t_1,t_2) $$ donde la constante $c$ debe ser elegida de tal manera que $$ \iint\limits_\text{dominio} c\,d(t_1,t_2) = 1. $$ El dominio está definido por $$0 \le t_1 \le t_2 \le L.$$ Cualquiera de las integraciones dobles anteriores se puede escribir como una integral iterada de dos maneras diferentes.

• Primero observe $$ \int_0^L \cdots \, dt_1 $$ es decir, $t_1$ va de $0$ a $L$. Entonces, para cualquier valor particular de $t_1$ entre $0$ y $L$, la otra variable $t_2$ va de $t_1$ a $L$, por lo que tenemos $$ \int_0^L \left( \int_{t_1}^L \cdots \, dt_2 \right) \, dt_1. $$
• Ahora observe $$ \int_0^L \cdots \, dt_2 $$ ya que $t_2$ va de $0$ a $L$, pero luego, para cualquier valor fijo de $t_2$, la otra variable $t_1$ va de $0$ a $t_2$, y tenemos $$ \int_0^L \left( \int_0^{t_2} \cdots \, dt_1 \right) \, dt_2 $$

Ambos enfoques darán la misma respuesta.