¿Realmente el giro no tiene un análogo clásico?

Question

A menudo se afirma que la propiedad del espín es puramente cuántica y que no hay un análogo clásico. En mi opinión, asumiría que esto significa que el límite clásico $\hbar\rightarrow 0$ se anula para cualquier observable de espín.

Sin embargo, recientemente he estado aprendiendo sobre estados coherentes de espín (estados cuánticos con mínima incertidumbre), que sí tienen un límite clásico para el espín. Esquemáticamente, se puede escribir un estado coherente de $SU(2)$, usarlo para obtener el valor esperado de algún operador de espín $\mathcal{O}$ y encontrar

$$ \langle \mathcal{\hat{O}}\rangle = s\hbar*\mathcal{O}, $$
lo cual tiene un límite clásico bien definido siempre y cuando se tome $s\rightarrow \infty$ a medida que $\hbar\rightarrow 0$, manteniendo fijo $s\hbar$. Esto tiene muchas aplicaciones físicas, siendo el resultado usualmente algún valor de momento angular clásico. Por ejemplo, se puede considerar un agujero negro como una partícula con espín cuántico $s$ cuyo límite clásico es un agujero negro de Kerr con momento angular $s\hbar*\mathcal{O}$.

Entonces, ¿por qué la gente dice que el espín no tiene un análogo clásico?

Answer 1

Probablemente estás pensando demasiado en esto. "El espín no tiene un análogo clásico" es usualmente una afirmación pronunciada en la introducción a la mecánica cuántica, donde discutimos cómo difiere un estado cuántico de la idea clásica de una partícula puntual. En este contexto, la afirmación simplemente significa que una partícula puntual clásica como generalmente se imagina en la mecánica newtoniana no tiene momento angular intrínseco; el único componente de su momento angular total es el de su movimiento, es decir, $r\times p$ con $r$ su posición y $p$ su momento lineal. El momento angular de un "cuerpo" en la física clásica implica que el cuerpo tiene una extensión y un movimiento cuantificable que rota alrededor de su c.o.m., pero esto no ocurre en la mecánica cuántica.

Por supuesto, existen muchas situaciones donde puedes construir un efecto observable de "espín" en el momento angular de algo generalmente pensado como "clásico". Estas son solo demostraciones de que el espín realmente es una especie de momento angular, no que el espín pueda ser clásico o que el momento angular que produjiste también deba ser llamado "espín".

De igual manera, existen "objetos" clásicos que tienen un momento angular intrínseco no directamente relacionado con el movimiento de objetos, como el campo electromagnético, es decir, tampoco es el caso que la física clásica no posea la noción de momento angular intrínseco en absoluto.

"El espín no es clásico" realmente solo pretende decir "Una partícula puntual newtoniana clásica no posee una noción comparable de momento angular intrínseco". (Cabe destacar que la cuantización tampoco es una propiedad particular del espín, ya que el momento angular ordinario también se cuantiza, como se ve por ejemplo en el número cuántico azimutal de los orbitales atómicos)

Answer 2

Parece que muchas personas no aprecian que hay diferentes límites clásicos de la mecánica cuántica. Al menos hay dos, un límite de partícula donde tomas $\hbar\to 0$ y $ω\to\infty$ mientras mantienes fijos $\hbar ω$ y $n$ (cantidad de partículas), y un límite de onda donde tomas $\hbar\to 0$ y $n\to\infty$ mientras mantienes fijos $n\hbar$ y $ω$.

En mi experiencia, fenómenos que desaparecen en el límite de partícula a menudo son llamados "puramente cuánticos", incluso cuando sobreviven prácticamente sin cambios en el límite de onda. El espín intrínseco es un ejemplo; el efecto Aharonov-Bohm es otro. La electrodinámica de Maxwell debería ser puramente cuántica según esta definición, por lo que supongo que una condición secundaria es que el fenómeno debe haber sido (re)descubierto por un físico después de la década de 1920, para que la afirmación no sea tan obviamente incorrecta.

La ecuación de Dirac también suele ser llamada puramente cuántica por razones que no me quedan claras, tal vez simplemente porque contiene un factor de $i\hbar$ en las unidades arbitrariamente escogidas por Dirac. Es una ecuación de onda clásica de espín ½ que simplemente fue descubierta por primera vez por alguien que buscaba una versión relativista de la ecuación de Schrödinger.

El significado del espín en el nivel de onda clásica o de primera cuantización se describe en "¿Qué es el espín?" por Hans C. Ohanian (Am. J. Phys. 54 (6), junio de 1986; en línea aquí).

Answer 3

Una diferencia esencial es que no hay representación de espín en el espacio ordinario de $3D$$^\dagger$. A diferencia de los armónicos esféricos $r^\ell Y_{\ell m}(\theta,\varphi)$ que pueden expresarse en términos de coordenadas esféricas (y eventualmente cartesianas), tal representación en términos de coordenadas "físicas" no es posible para el espín-$1/2$ (o espín semientero en general).

$^\dagger$ ver Gatland, I.R., 2006. Integer versus half-integer angular momentum. American journal of physics, 74(3), pp.191-192.

Answer 4

El spin tiene un análogo clásico. Aparece en la clasificación simpléctica asociada con el grupo de simetría cinemática. Para la relatividad, el grupo cinemático es el grupo de Poincaré, mientras que para la teoría no relativista es la extensión central del grupo de Galileo - el grupo de Bargmann.

En ambos casos, se puede desarrollar una clasificación simpléctica "Wigner". La familia de hojas simplécticas correspondientes a los cuerpos que tienen un marco de reposo son, en relatividad, los bradiones. Se puede adoptar un nombre similar para su análogo no relativista, que comprende la clase de cuerpos que tienen un centro de masa, una masa distinta de cero y una velocidad finita.

Para ambas familias, las hojas simplécticas, en general, tienen 4 pares de coordenadas. De estos pares, 3 se combinan para darte la versión simpléctica de las relaciones de Heisenberg $\{x^i, p_j\} = \delta^i_j$, para $(i, j = 1, 2, 3)$. El cuarto par surge del vector de spin $S$, que es el momento angular $J$ en el marco de reposo del cuerpo, tomado con su centro de masa como punto de referencia.

No hay nada en esta descripción que requiera que el cuerpo, en cuestión, sea compuesto; ni hay nada que requiera que $S$ sea 0, cuando el cuerpo es un sistema elemental.

Esto no es "clásico" solo en el sentido de que no se reconoció como parte de la física clásica antes del siglo XX. Su ausencia se refleja como un vacío en la Tercera Ley de Newton: no hay ley para el torque helicoidal de acción y reacción, particularmente cuando ese torque es un torque de acción a distancia, tomado a lo largo de un eje colineal con la línea de separación de los dos cuerpos en interacción.

Por lo tanto, se puede considerar como "retroclásico"; dando testimonio de que la física clásica continuó evolucionando, incluso después del descubrimiento de paradigmas que la superaron.

Por "clásico", me refiero en ambos sentidos del término: cuántico versus no cuántico y relatividad versus no relatividad. El spin abarca ambos conjuntos de subdivisiones y surge en los cuatro entornos: (1) teoría cuántica relativista, (2) teoría cuántica no relativista, (3) relatividad no cuántica y (4) teoría no cuántica no relativista.

La naturaleza "cuántica" del spin fue solo una apariencia que surgió por el accidente histórico de haber sido supuesto primero (y descubierto) en el contexto de la teoría cuántica, por lo que inicialmente se asumió que era sinónimo de la teoría cuántica en sí misma.

Esta es una falacia común: un nuevo paradigma que comprende el contexto del primer descubrimiento de un atributo se confunde inicialmente como un aspecto esencial de ese atributo, antes de que más tarde se descubra (tardíamente) que ya estaba latente en un paradigma más antiguo. Otros ejemplos incluyen la unificación espacio-temporal (la teoría no relativista y la gravedad newtoniana pueden formularse en términos de geometría espacio-temporal), la ecuación de Dirac (se puede escribir una versión no relativista), e incluso la correspondencia de De Broglie (también hay una versión no relativista de esto), y la representación del espacio de Hilbert y la Regla de Born (existen versiones clásicas de ambos).

Por lo tanto, el spin en sí no es una característica cuántica de los sistemas. En cambio, lo que es cuántico es que en la teoría cuántica, el spin está cuantizado. El cuarto par de coordenadas se cuantifica como la coordenada "m" en la representación habitual del spin. Esto se puede escribir en forma funcional identificando realmente el componente $J_z$ con el operador diferencial $-i /$. Los componentes transversales $J_x$ y $J_y$ a lo largo de los ejes $x$ y $y$ perpendiculares a $z$ se escriben entonces en forma de operador en términos de funciones de $$ e $-i /$, de tal manera que se cumplan las relaciones de Heisenberg esperadas para ellos. Para los giros enteros, las funciones propias se expresan utilizando armónicos esféricos. Para los giros de semi-entero, se utilizan armónicos esféricos ponderados por el spin. Penrose y Rindler los describen en Spinors and Space-Time, Volumen I: Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge University Press. Cambridge.

Una descripción inequívoca de ellos, en términos de funciones, requiere una estructura adicional que equivale a elevar la esfera bidimensional a una esfera tridimensional. Se puede encontrar más información sobre ellos aquí:

Armónicos Esféricos Ponderados por el Spin
https://es.wikipedia.org/wiki/Armónicos_esféricos_ponderados_por_el_spin

Answer 5

El campo electromagnético a menudo se denomina como teniendo espín 1 incluso en el contexto clásico. Esto considera que "espín" se define como la representación del grupo de Lorentz bajo el cual un campo se transforma. De hecho, según esa definición, cada campo en la física clásica puede asignarse un espín (que posiblemente pero no necesariamente sea cero). El campo gravitacional de la Relatividad General tiene espín 2.

Estos campos llevan momento angular intrínseco como consecuencia de su naturaleza con espín: al construir las corrientes conservadas de Noether correspondientes a las transformaciones de Lorentz, el llamado tensor de espín, es necesario considerar que una transformación activa de Lorentz $\Lambda$ sobre el campo $F$ actúa tanto "moviendo" el campo a través del espacio como sobre los componentes del campo mismo. Esto se hace, por ejemplo, aquí en la sección 8.9.1 para el campo electromagnético. Entonces el espín existe en el dominio clásico en el sentido de (1) representaciones no triviales del grupo de Lorentz, (2) una fuente de momento angular adicional que los campos escalares no poseen.

De hecho, algunos tipos de límite clásico de espín de "partícula" también pueden construirse, como el ejemplo del agujero negro Kerr mencionado por el usuario.

Cuando la gente dice que el espín no tiene un análogo clásico, probablemente se refieran al conjunto entero de rarezas del espín cuántico, incluyendo el hecho de que está cuantizado y que sus componentes no conmutan entre sí. Si ese es el caso, entonces la conclusión obviamente sigue.