¿Cuál es el significado geométrico de esta igualdad de vectores? $\vec{BC}\cdot\vec{AD}+\vec{CA}\cdot\vec{BD}+\vec{AB}\cdot\vec{CD}=0$

Question

Estaba haciendo algunos ejercicios de álgebra lineal. Uno de ellos era demostrar que para cualquier cuatro puntos $A, B, C, D \in \mathbb{R}^3$ se cumple la siguiente igualdad: $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD}\ +\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD}\ +\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\ = 0$$ La demostración es fácil; simplemente haces tres vectores partiendo de $A$ y luego ves que todos los términos se cancelan.

Mi pregunta es: ¿cuál es la interpretación geométrica de esta igualdad? ¿Cómo puedo visualizarla o entender su significado más profundo? ¿Esta igualdad tiene un nombre o dónde puedo leer más al respecto?

Estoy preguntando esto porque resulta que no es solo una igualdad aleatoria y es bastante útil. Por ejemplo, si queremos demostrar la existencia del ortocentro, podemos hacerlo sorprendentemente fácil y rápidamente usando esta igualdad.

Answer 1

Tomamos como vector dado $AD$ que se dirige como se muestra, es decir, esencialmente se da como la suma resultante de vectores $ AB,BC,CD $, es decir,

$$ \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} \tag 1 $$

Verificamos esta proposición con productos escalares directos de vectores posicionales tomados con componentes $(x,y) $. Los vectores posicionales se muestran sin flechas superiores.

$$ (ab,bc,cd,ad)= [(p,q),(r,s),(u,v),(p+r+u,q+s+v)]\;\tag1$$

$$ ac= (p+r,q+s),bd=(r+u),(s+v) \tag 2 $$

luego sumas de producto escalar de vectores de lados opuestos

$$ab.cd + bc.ad =\tag 3$$

$$ p r + r^2 + q s + s^2 + p u + r u + q v + s v \tag 4$$

y sumas de producto escalar de vectores de diagonales

$$(ac.bd)=(ab + bc).(bc + cd)=$$

$$ p r + r^2 + q s + s^2 + p u + r u + q v + s v \tag 5 $$

Dado que (4) y (5) son iguales, la convención de signos asumida en (1) está validada y luego tenemos la convención de signos de vectores:

$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD}\ -\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD}\ +\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}=0 \tag 6 $$

Los productos de diagonales centrales tienen signos diferentes para $ca$ y $ac$, por lo que estas relaciones son idénticas y el término intermedio se deja como está para mantener la consistencia. Además, el término del producto de la diagonal se da negativo en Ptolemy Inequality, la referencia de Wiki, manteniendo el signo como más apropiado.

En busca de un significado geométrico

1. La relación dada es una hermosa vectorización/generalización en 3 espacios del teorema de Ptolomeo que trata con escalares derivados de productos escalares.

2. Esta publicación me ha llevado a definir Nuevas Formas Ovaladas aquí en el plano aliadas al Círculo... que circunscriben cuadriláteros no cíclicos teniendo la nueva constante distinta de cero como propiedad $e$.

Este enfoque resultó en la generalización del teorema de Ptolomeo en el plano (donde las Nuevas Formas Ovaladas circunscriben cuadriláteros en el plano cuya suma del producto de los lados y la suma del producto de las diagonales tienen una razón constante $e.$

3. Se ha verificado por el OP y por mí que el resultado escalar dado de productos escalares es válido en $\mathbb R^3 $ también. Por lo tanto, se debe concluir que la relación dada de productos escalares de vectores es válida para un cuadrilátero oblicuo dentro de una esfera (los vértices están en la esfera). Esta es una clara interpretación geométrica posible.

$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD}\ -\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD}\ +\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\ =0 \tag 7 $$

La propiedad anterior ha sido verificada en el cálculo vectorial de Mathematica para una suma cero tomando cuatro puntos arbitrarios $(A,B,C,D)$ en una esfera unitaria calculada y dibujada de esta manera:

Esto y lo que sigue no es estrictamente parte de la respuesta, pero se menciona por continuidad del tema.

Es muy emocionante imaginar que incluso podríamos validar en $\mathbb R^3 $ *superficies Ovaloides no esféricas circunscribiendo cuadriláteros oblicuos* que obedecen la desigualdad de Ptolomeo modificada por mí... usando la relación que incluye $e$:

$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD}\ -\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD}\ +\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\ = e \tag 8 $$

5. Además, no es difícil demostrar que la superficie Ovaloide circunscribe un cuadrilátero oblicuo y el producto escalar dado incluyendo un lado derecho distinto de cero $e$.

6. Finalmente, en mi humilde opinión, la relación tiene un significado físico en Mecánica en lugar de la interpretación geométrica solicitada.

El equilibrio de fuerzas se establece fácilmente por medio de la suma de vectores nula. Cuando el lado derecho se desvanece, existe un equilibrio de momentos haciendo un *equilibrio estático completo de fuerzas y momentos*.

$$ \sum F_i=0; \sum M_i=0 ;\tag9$$

Cuando no lo hace, es decir, con un LRD = $e$ hay un constante desequilibrio momento en equilibrio dinámico.

$$ \sum F_i=0;\sum M_i= e ;\tag{10}$$

Establecerlo con firmeza dentro del tiempo disponible antes de que caduque la recompensa es difícil para mí, así que esto se puede considerar para lo que valga en relación conceptual con la Mecánica Newtomiana.

Gracias por la indulgencia.. Saludos

Answer 2

Al parecer, al mirar \begin{align*} \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD}\ +\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD}\ +\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\ = 0\tag{1} \end{align*} en su totalidad, lo que significa en este contexto considerando cualquier cuatro puntos en $\mathbb{R}^3$ hay más bien un significado combinatorio (no tan profundo) que un significado geométrico profundo. Sin embargo, hay hermosas visualizaciones geométricas cuando se consideran casos especiales en su lugar.

Esencialmente unidimensional: Nota la identidad (1) que se expresa en $\mathbb{R}^3$ es esencialmente una relación de cuatro puntos en $\mathbb{R}$. Cuando tomamos, por ejemplo, la proyección de mapeo $\pi_1(X)=X_1$ donde $X=(X_1,X_2,X_3)$, la identidad (1) se reduce a

\begin{align*} &\color{blue}{(C_1-B_1)(D_1-A_1)}+\color{red}{(A_1-C_1)(D_1-B_1)}+(B_1-A_1)(D_1-C_1)\\ &\qquad=\ \ \color{blue}{C_1D_1-B_1D_1-A_1C_1+A_1B_1}\\ &\qquad\quad\color{red}{-C_1D_1\qquad\qquad\qquad\quad\ -A_1B_1+A_1D_1+B_1C_1}\tag{2}\\ &\qquad\qquad\qquad\ +B_1D_1+A_1C_1\qquad\qquad-A_1D_1-B_1C_1\\ &\qquad=0 \end{align*} Observamos en (2) que los términos en cada dimensión se cancelan independientemente de los términos de otras dimensiones. De esto podríamos concluir que cualquier esencia de información geométrica ya debería estar contenida dentro de cada dimensión de coordenadas por separado.

Además, el orden de los puntos $A_1,B_1,C_1$ y $D_1$ también es irrelevante. Podemos asumir que $A_1\leq B_1\leq C_1\leq D_1$ o cualquiera de las $4!=24$ permutaciones, ya que cualquier cambio en el orden puede cambiar el signo de $X_1Y_1$ pero entonces $-X_1Y_1$ también cambia el signo.

Hermosos casos especiales: Como @darigrinberg indicó en la sección de comentarios, tenemos por ejemplo el _teorema de Ptolomeo que afirma la identidad (1) en el caso unidimensional usando longitudes $|\overline{BC}|, |\overline{AD}|$, etc, para el caso especial de que los $4$ puntos $A,B,C,D\in\mathbb{R}^2$ son cuadrilátero cíclico_. Una bonita demostración de este teorema se basa en la inversión de círculos y similitudes de triángulos como se muestra en la figura siguiente.

Los cuatro puntos $A,B,C,D$ son elementos del círculo azul con el punto $D$ siendo el centro del círculo rojo. Mediante la inversión del círculo los puntos $A,B,C$ son mapeados a una línea dando $A',B',C'$. Así derivamos $|\overline{DA}||\overline{DA'}|=|\overline{DB}||\overline{DB'}|=|\overline{DC}||\overline{DC'}$ y encontramos de esta manera triángulos similares como el par sombreado y otros dos pares más a partir de los cuales se deduce el teorema. Esta demostración se muestra de manera clara aquí por Adam Hrankowsi que pronto estará disponible en ¿Cuándo voy a usar esto?.

Nota que el _teorema de Pitágoras y la regla del coseno_ se derivan de casos especiales del teorema de Ptolomeo.

Aspectos combinatorios: Volvemos a mirar la identidad vectorial (1) y consideramos los productos \begin{align*} &\overrightarrow{\color{blue}{B}C} \cdot \overrightarrow{\color{blue}{A}D}\tag{3}\\ &\overrightarrow{C\color{blue}{A}} \cdot \overrightarrow{\color{blue}{B}D}\tag{4}\\ &\overrightarrow{\color{blue}{A}\color{blue}{B}} \cdot \overrightarrow{CD}\tag{5}\\ \end{align*}

Los puntos $A$ y $B$, por ejemplo, aparecen en tres variaciones: $A$ y $B$ ambos en el lado izquierdo del vector en (3) que se puede codificar como $(Izq,Izq)$. $A$ en el lado derecho y $B$ en el lado izquierdo en (4), codificado como $(Der,Izq)$ y $A$ y $B$ ambos en el mismo lado, codificado como $(0,0)$. Esta relación se mantiene para cada una de las seis selecciones posibles de dos puntos.

Reduciendo esta relación a una coordenada mediante el mapeo de proyección observamos: Cada vez que dos puntos $X_1, Y_1$ se codifican como $(Izq,Izq)$ o $(Der,Der)$ el producto $X_1Y_1$ tiene un signo diferente al producto resultante de una constelación $(Izq,Der)$ o $(Der,Izq)$. Comprobando cada par de puntos en (1) para esta relación obtenemos \begin{align*} \begin{array}{cccccc} (A_1,B_1)&(A_1,C_1)&(A_1,D_1)&(B_1,C_1)&(B_1,D_1)&(C_1,D_1)\\ \hline (Izq,Izq)&(Izq,Der)&(0,0)&(0,0)&(Izq,Der)&(Der,Der)\tag{6}\\ (Der,Izq)&(0,0)&(Der,Der)&(Izq,Izq)&(0,0)&(Izq,Der)\\ (0,0)&(Izq,Izq)&(Izq,Der)&(Der,Izq)&(Der,Der)&(0,0) \end{array} \end{align*} mostrando que cada par de puntos resulta en dos productos que se cancelan, mientras que $(0,0)$ significa que no produce un producto en absoluto.

Conclusión: Para proporcionar una visualización geométrica de cualquier cuatro puntos $A,B,C,D$ en $\mathbb{R}^3$ debería codificar adecuadamente la información indicada en la tabla (6).