¿Cuál es el significado geométrico de esta igualdad de vectores? $\vec{BC}\cdot\vec{AD}+\vec{CA}\cdot\vec{BD}+\vec{AB}\cdot\vec{CD}=0$

Question

Estaba haciendo algunos ejercicios de álgebra lineal. Uno de ellos era demostrar que para cualquier cuatro puntos $A, B, C, D \in \mathbb{R}^3$ se cumple la siguiente igualdad: $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD}\ +\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD}\ +\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\ = 0$$ La demostración es fácil; simplemente haces tres vectores partiendo de $A$ y luego ves que todos los términos se cancelan.

Mi pregunta es: ¿cuál es la interpretación geométrica de esta igualdad? ¿Cómo puedo visualizarla o entender su significado más profundo? ¿Esta igualdad tiene un nombre o dónde puedo leer más al respecto?

Estoy preguntando esto porque resulta que no es solo una igualdad aleatoria y es bastante útil. Por ejemplo, si queremos demostrar la existencia del ortocentro, podemos hacerlo sorprendentemente fácil y rápidamente usando esta igualdad.

Answer 1

Sea $O$ el ortocentro $O$ de $\triangle ABC$. Entonces \begin{align} &\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} \ +\ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD} \ +\ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BD}\\ =\ &\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CO} \ +\ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AO} \ +\ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BO}\right) + \left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OD} \ +\ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{OD} \ +\ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{OD}\right)\\ =\ &\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CO} \ +\ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AO} \ +\ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BO}\right) + \left(\overrightarrow{AB}\ +\ \overrightarrow{BC}\ +\ \overrightarrow{CA}\right)\cdot\overrightarrow{OD}\tag{$\dagger$}\\ =\ &0+0=0.\\ \end{align} El primer paréntesis en la línea $(\dagger)$ es cero porque cada lado de $\triangle ABC$ es perpendicular a la altura trazada desde el vértice opuesto. El segundo paréntesis es cero porque es la suma de aristas dirigidas de un circuito cerrado.

En resumen, la identidad es básicamente una suma cíclica de expresiones de la forma "lado punto altura" en $\mathbb R^2$, pero se ha agregado otra suma cíclica de la forma "lado punto $\overrightarrow{OD}$" para ocultar el significado del ortocentro y hacer presente la identidad en $\mathbb R^3$.

Answer 2

Aquí hay otra prueba, tal vez sea útil: cambia $D$ agregando cualquier vector $v$ a él. La suma cambia por $\left(\overrightarrow{AB}\ +\ \overrightarrow{BC}\ +\ \overrightarrow{CA}\right)\cdot v=0$. Por lo tanto, esta es una expresión independiente de $D$. De manera similar, es independiente de $A$, $B$ y $C$, por lo que es constante. Claramente esta constante es $0$.

(De hecho, se podría mover simplemente $D$ a $A$ y obtener cero de inmediato. Una de las soluciones propuestas mueve $D$ al ortocentro $O$, pero eso no es realmente necesario.)

EDITAR: Para ver la independencia de $A$, modifica la fórmula intercambiando la dirección de las flechas para que $A$ sea la última:

$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD}\ +\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD}\ +\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\ = \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{DA}\ +\ \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CA} \ +\ \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{BA} $$

Ahora, añadir $v$ a $A$ cambia la suma por $ (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} )\cdot v=0$.

Lo mismo funciona para $B$ y $C$.

Answer 3

No estoy seguro si esta es la interpretación "geométrica" que esperas, pero aquí hay una forma de ver por qué la fuerte "simetría" de la expresión implica que debe ser $0$.

Denotemos $\phi : (\mathbb{R}^3)^4 \rightarrow \mathbb{R}$ la aplicación definida para todos $A,B,C,D \in \mathbb{R}^3$ por $$\phi(A,B,C,D) = \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD}\ +\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD}\ +\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$$

Puedes ver que $\phi$ es una forma $4-$lineal en $\mathbb{R}^3$. Además, tienes fácilmente $$\phi(B,A,C,D) = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}\ +\ \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AD}\ +\ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CD} = -\phi(A,B,C,D)$$

y esto se generaliza diciendo que para cada permutación $\sigma$ del conjunto $(A,B,C,D)$, se tiene $$\phi(\sigma(A),\sigma(B),\sigma(C),\sigma(D)) = \varepsilon(\sigma) \phi(A,B,C,D)$$

Entonces $\phi$ es una forma $4-$lineal antisimétrica en $\mathbb{R}^3$. Y como $4 > 3$, la única forma antisimétrica en $\mathbb{R}^3$ es la forma nula, por lo que $\phi \equiv 0$.

Answer 4

Esta ecuación es cierta para cualquier $4$ puntos en $\mathbb{R}^n$, para $n\ge1$. Dado que cualquier $4$ puntos en $\mathbb{R}^n$, para $n\ge3$, residen en un hiperplano de $3$ dimensiones, obtenemos plena generalidad a partir de $\mathbb{R}^3$. Sin embargo, el resultado es igual de fácil de demostrar en $\mathbb{R}^n$, por lo que lo haremos.

Esta ecuación es verdadera en cada coordenada; el producto punto simplemente suma los ceros en las coordenadas. La ecuación en cada coordenada es simplemente una afirmación sobre productos triples que se anulan en $\mathbb{R}^3$: $$ \begin{align} &\color{#090}{(C-B)}\cdot\color{#00F}{(D-A)}+\color{#090}{(A-C)}\cdot\color{#00F}{(D-B)}+\color{#090}{(B-A)}\cdot\color{#00F}{(D-C)}\\[3pt] %&=\sum_{k=1}^n\begin{bmatrix}a_k&b_k&c_k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\1&-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_k-a_k\\d_k-b_k\\d_k-c_k\end{bmatrix}\\ &=\sum_{k=1}^n[\color{#090}{(c_k-b_k)}\color{#00F}{(d_k-a_k)}+\color{#090}{(a_k-c_k)}\color{#00F}{(d_k-b_k)}+\color{#090}{(b_k-a_k)}\color{#00F}{(d_k-c_k)}]\tag1\\ &=\sum_{k=1}^n\color{#090}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}a_k\\b_k\\c_k\end{bmatrix}}\cdot\color{#00F}{\begin{bmatrix}d_k-a_k\\d_k-b_k\\d_k-c_k\end{bmatrix}}\tag2\\ &=\sum_{k=1}^n\color{#090}{\vec u_k\times\vec v_k}\cdot\color{#00F}{(d_k\vec u_k-\vec v_k)}\tag3\\[9pt] &=0\tag4 \end{align} $$ Cada producto triple $\vec u_k\times\vec v_k\cdot(d_k\vec u_k-\vec v_k)=0$ porque representa el volumen del paralelepípedo generado por $\vec u_k$, $\vec v_k$ y $d_k\vec u_k-\vec v_k$. Dado que estos tres vectores yacen en el plano generado por $\vec u_k$ y $\vec v_k$, el paralelepípedo es degenerado y tiene un volumen de $0$.

Answer 5

Aquí hay una interpretación geométrica

siendo $H$ la proyección de $D$ en el plano que contiene $A$, $B$ y $C$ de tal manera que

• $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HD} $
• $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HD} $
• $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HD} $

y dado que $\overrightarrow{HD}$ es ortogonal al plano que contiene $A$, $B$ y $C$, la identidad dada es equivalente a

$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AH}\ +\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BH}\ +\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CH}\ = 0$$

lo cual es trivialmente cierto de hecho ya que por $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ obtenemos

$$(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AH}\ +\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BH}\ +\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CH}\ = $$

$$=\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AH}+\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BH}\ +\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CH}\ = $$

$$=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{HA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{HA}+\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BH}\ +\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CH}\ = $$

$$=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HA})+\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HA})=$$

$$=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}=0$$