Diferencia entre Perpendicular, Ortogonal y Normal

Question

Me parece que perpendicular, ortogonal y normal son todos equivalentes en dos y tres dimensiones. Me da curiosidad en qué situaciones se debería usar un término sobre otro en dos y tres dimensiones.

Además... ¿qué pasa con dimensiones más altas? Parece que perpendicular y normal no tendrían un significado claro, mientras que ortogonal sí, ya que está definido en términos del producto punto.

¿Puede alguien darme un desglose detallado de las diferencias en sus significados, sus usos y las situaciones para las que se debería usar cada uno?

Answer 1

En dos o tres dimensiones, estoy de acuerdo, perpendicular es más natural que ortogonal.

En dimensiones más altas, o si la dimensión está representada por un desconocido, ambos son correctos, pero creo que ortogonal es preferible.

Aquí hay un fragmento de Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonality):

En matemáticas, la ortogonalidad es la generalización de la noción de perpendicularidad al álgebra lineal de formas bilineales.

Normal se puede usar en cualquier dimensión, pero suele significar perpendicular a una curva o superficie (de alguna dimensión).

Answer 2

¡Excelente pregunta! La mejor manera de entender los tres (3) términos es en el contexto de la Historia de las Matemáticas. Además, la noción de Equivalencia Lógica también es útil en nuestra comprensión. Piensa en las diversas formas en que el Axioma de Líneas Paralelas puede ser reemplazado por otras Declaraciones que resultan ser Lógicamente Equivalentes. Así que,

(1) Perpendicular generalmente se asocia con "dejar caer una perpendicular desde un punto," y solo presupone 2 dimensiones en forma de un solo plano. Y no se asumen Angularidades (Ángulos). Por ejemplo, Dada una Línea (Horizontal) con 2 Círculos Congruentes que se intersecan en 2 Puntos) en ella (los Centros se encuentran en la Línea), la línea "Dejada caer" de Arriba hacia Abajo forma una Perpendicular. Nota que no se dice nada sobre Ángulos.

(2) Línea Ortogonal se define como una línea con un Ángulo Recto. Y dado que todos los Ángulos Rectos son Iguales (uno de los Axiomas de Euclides) cada Línea Ortogonal implica 4 Rayos desde el punto de intersección.

Nota que se puede probar (probablemente, dependiendo de quién seas y qué axiomas elijas) que cada Ortogonal es una Perpendicular, y cada Perpendicular es una Ortogonal.

(3) La Normal es una Perpendicular a un Plano Tangente a una Superficie. Así que al menos tres (3) dimensiones. En general, cada Par de Dimensiones produce un "nuevo" Plano distinto, y para cada uno se puede Definir una Normal que yace en la "siguiente" dimensión de las 2 dadas; la restricción es que la Normal solo tiene un Punto en común con el Plano que interseca, así que yace en la "otra" Dimensión a la que es Perpendicular u Ortogonal. Cualquier Rayo desde el Punto a través del cual se Define la Normal forma un Plano, y en ese Plano la Normal forma una Perpendicular que también es una Ortogonal. Añadir Dimensiones significa simplemente agregar nuevos Planos donde se introducen nuevas Perpendiculares, Ortogonales y Normales.

Espero que esto responda tu excelente pregunta.

Answer 3

En álgebra lineal, "perpendicular" se menciona para vectores no nulos, mientras que "ortogonalidad" es para vectores nulos y no nulos. Decimos que un vector nulo es ortogonal a algún vector, no perpendicular. Un "normal" es perpendicular a cada vector en el plano

Answer 4

Dos subespacios F y G (del espacio euclidiano E de dimensión finita) son perpendiculares si son ortogonales y suman el espacio completo, es decir, F⊕G=E. Por ejemplo, dos líneas son perpendiculares en el plano (espacio 2D), pero solo son ortogonales en el espacio 3D.

Answer 5

Es importante tener en cuenta que en gráficos por computadora, vista ortogonal implica la ausencia de transformaciones de perspectiva.