La probabilidad de que un movimiento Browniano lineal alcance una curva

Question

Resumen

Estoy tratando de estimar la probabilidad de que una trayectoria estándar lineal de movimiento Browniano golpee alguna curva. Para simplificar un poco las cosas, puedo suponer que la curva es el gráfico de una función, que es positiva en $t=0$, que está acotada por la izquierda por $0$ y por la derecha por algún $T>0$, que es continua, o incluso diferenciable, y otros bonitos aspectos curvos que pueden ayudar a que esta pregunta sea más factible.

Formalización

Sea $\{B(t)\mid t\ge 0\}$ un movimiento Browniano lineal estándar, y sea $f:[0,T]\to\mathbb{R}$ una función real infinitamente diferenciable (en $(0,T)$) con $T>0$ y $f(0)>0$. Sea $A_f$ el evento "$\exists t\in(0,T]):\ B(t)=f(t)$", es decir, el movimiento Browniano "golpea" el gráfico de la función $f$.

La pregunta es la siguiente: dado $f$, ¿cuál es $\mathbb{P}\left(A_f\right)$?

Intento

Todo lo que pude hacer es resolver esto para $f\equiv c>0$; en ese caso, si definimos $M(t)=\max\{B(s)\mid 0\le s\le t\}$ tenemos que $$\mathbb{P}\left(A_f\right)=\mathbb{P}\left(M(T)\ge c\right)$$ y por el principio de reflexión, la última probabilidad es igual a $$2\mathbb{P}\left(B(T)\ge c\right)$$ y eso se puede resolver usando la función de distribución normal directamente.

Sin embargo, incluso para $f$'s lineales no constantes ese truco no funcionará; y $f(x)=1/x$ (con algo en $0$, acotada por la derecha por algún $T$) parece mucho más difícil. Aquí es donde me detengo y publico una pregunta.

Answer 1

Esto es solo una respuesta parcial, pero el problema me intriga y no cabría en un comentario, así que tómalo solo como inspiración para otros que quizás tengan más tiempo.

Supongamos que la curva es lineal por partes, es decir, existen momentos $$0 = t_0 < t_1 < ... $$ y valores $f_k \in \mathbb{R}$ con $f_0 > 0$ tales que $$ f(t) = \sum_{k=0}^\infty \chi_{[t_k, t_{k+1}]}(t) \cdot \underset{:= g_k}{\underbrace{(f_k + (t - t_k) \frac{f_{k+1} - f_k}{t_{k+1} - t_k})}}. $$ Entonces $$ \mathbb{P}(\exists t > 0: B_t - f(t) = 0) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{k = 0}^\infty \{\exists t \in [t_k, t_{k+1}]: B_t - g_k(t) = 0\} \right). $$ Define $$w^k_t = B_{t + t_k} - B_{t_k}$$ Sabemos que $W^k$ es un BM.

Define además $$c_k = \frac{f_{k+1} - f_k}{t_{k+1} - t_k}.$$ Entonces para $t \in [0, t_{k+1} - t_k]$ $$ B_{t + t_k} - g_k(t + t_k) = B_{t_k} - f_k + W^k_t - t c_k $$ Entonces $$ \mathbb{P}(\exists t \in [t_k, t_{k+1}]: B_k - g_k = 0 ) = \mathbb{P} (\exists t \in [0,t_{k+1} - t_k]: B_{t_k} - f_k + W^k_t - t c_k) $$ $$ = \mathbb{E} \left[ \chi_{\exists t \in [0,t_{k+1} - t_k]: B_{t_k} - f_k + W^k_t - t c_k} \right] = \mathbb{E} \left[ \mathbb{E} \left[ \chi_{\exists t \in [0,t_{k+1} - t_k]: B_{t_k} - f_k + W^k_t - t c_k} \vert \sigma(B_{t_k})\right] \right] $$ $$ = \mathbb{E}_{- f_k} \left[ \mathbb{E} \left[ \chi_{\exists t \in [0,t_{k+1} - t_k]: B_{t_k} + W^k_t - t c_k} \vert \sigma(B_{t_k})\right] \right] $$ Ahora usamos la propiedad de Markov fuerte (¿o tal vez la débil es suficiente aquí?) $$ = \mathbb{E}_{- f_k} \left[ \mathbb{E}_{B_{t_k}} \left[ \chi_{\exists t \in [0,t_{k+1} - t_k]:W^k_t - t c_k} \right] \right] $$ $$ = \mathbb{E}_{- f_k} \left[ \mathbb{P}_{B_{t_k}} \left( T_0^{c_k} \leq t_{k+1} - t_k \right) \right], $$ donde $T^k_0$ es el tiempo de llegada al $0$ para un movimiento browniano con deriva $-c_k$. Esto se puede calcular fácilmente ya que se conoce la densidad, deberías poder encontrarla en línea.

Para mayor claridad, permíteme reescribir dónde comienza cada proceso $$ = \mathbb{E}_{B_0 = - f_k} \left[ \mathbb{P}_{W^k_0 = B_{t_k}} \left( T_0^{c_k} \leq t_{k+1} - t_k \right) \right]. $$ Por lo tanto, este cantidad debería ser calculable. Pero el problema es que el término $$ \mathbb{P}\left(\bigcup_{k = 0}^\infty \{\exists t \in [t_k, t_{k+1}]: B_t - g_k(t) = 0\} \right) $$ no se reduce fácilmente a estas probabilidades. Sin embargo, desde aquí puedes comenzar a hacer estimaciones.

Luego, para obtener funciones suaves, puedes aproximarte con una función lineal por partes y también hacer algunas estimaciones.

Answer 2

Denote $G(x,t,y,\tau)$ la función de Green para el primer problema de valores en la frontera de la ecuación de calor correspondiente en el dominio $\Omega=\{x. El primer evento de llegar a la curva puede interpretarse como una partícula que se adhiere a la curva o abandona el dominio. La distribución de probabilidad con la fuente de partículas en el origen está descrita por $G(x,t,0,0)$. Por lo tanto, la probabilidad requerida es igual al flujo de partículas a través de la frontera: $$ P=-\int_0^T\partial_xG(f(t),t,0,0)\,dt=1-\int_{-\infty}^{f(T)}G(x,T,0,0)\,dx. $$