¿Aplicaciones (sencillas?) de la teoría de los campos de clase?

Question

¿Alguien conoce alguna aplicación sencilla/bonita de la teoría del campo de clases? Me gustaría encontrar una relacionada con las ecuaciones diofantinas, pero cualquier cosa que tenga sería buena.

Gracias

Answer 1

Te puede gustar La teoría de los campos de clase y el primer caso del último teorema de Fermat por Lenstra y Stevenhagen. El primer caso de FLT es que no podemos tener $$x^p+y^p+z^p=0 \ \mathrm{and} \ xyz \not\equiv 0 \mod p.$$

Lenstra y Stevenhagen utilizan cálculos con $p$ -Las leyes de reciprocidad de poder en $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ para demostrar que, si el primer caso de FLT fuera resoluble, entonces $p$ tendría muchas propiedades especiales como: $$2^{p-1} \equiv 1 \mod p^2$$ $$3^{p-1} \equiv 1 \mod p^2$$ $$2p+1, 4p+1, 8p+1, 10p+1 \ \mbox{are all composite}$$

Usando estas condiciones y otras similares, se pueden descartar todos los primos bajo $10^{18}$ . Estas condiciones ya se conocían por otros métodos; la contribución de este artículo es proporcionar pruebas muy breves y uniformes a partir de la Teoría de Campos de Clases.

Este no es un artículo fácil -- seguir todos los detalles implica entender muy bien la Teoría de Campos de Clases. Pero creo que está lo mejor escrito posible, dado el tema que trata.

Answer 2

En mi primer trabajo de investigación Necesitaba extensiones de $\mathbb{Q}$ con grupo de Galois diédrico y con muchos primos ramificados de un tipo particular. Aunque se trata de extensiones no abelianas, su existencia puede demostrarse utilizando la teoría de campos de clases.

Utilicé esto para decir algo sobre el crecimiento de los grupos de Selmer de las curvas elípticas, que son ecuaciones diofantinas en dos variables de grado 3. No estoy seguro de si eso califica para ti como aplicaciones a las ecuaciones diofantinas.

Answer 3

Si has estudiado la teoría del campo de la clase global, entonces hay muchos usos. En primer lugar, el teorema de la densidad de Cebotarev aparece como una generalización del teorema de Dirichlet... y es un pequeño y agradable ejercicio para ver cómo el teorema de Dirichlet se cae si se utiliza explícitamente la extensión ciclotómica $\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$ .

Además, la ley de reciprocidad de Artin explica todas las leyes de reciprocidad conocidas anteriormente y proporciona un marco más general para ellas... ¡da una ley de reciprocidad para cada extensión abeliana! Por ejemplo, la reciprocidad cuadrática se deduce de ella. Lee a Cox para saber cómo.

Cox también domina el tema de los primos de la forma $x^2 + ny^2$ . Basta con decir que es fácil ver que esto es realmente la misma cuestión que determinar qué primos se dividen en ideales agradables en el orden $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ de $\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$ . Dependiendo de lo que $n$ ¡es que puedes encontrar usos importantes para los campos de la clase Hilbert y los campos de la clase anillo en la obtención de condiciones de congruencia para que tal primo tenga la forma anterior! El camino que utilices depende de si $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ es el anillo completo de enteros.

Answer 4

La reciprocidad de Artin:

Dejemos que $K$ sea una extensión de campo abeliano del campo numérico $F$ entonces la función zeta de Dedekind de $K$ factores en un producto de funciones L de Hecke de $F$ (asociado a una representación unidimensional del grupo de Galois).