Demuestra que una función estrictamente decreciente de $f:\Bbb R \to \Bbb R$ es inyectiva

Question

Me gustaría demostrar que una función estrictamente decreciente de $f:\Bbb R \to \Bbb R$ es uno a uno.

Queremos demostrar que si $f(a) = f(b)$ entonces $a = b$ para todo $a, b \in \Bbb R$.

Una prueba que vi en línea fue la siguiente (aunque hice la misma prueba utilizando la técnica del contrapositivo), pero solo quiero obtener una mejor comprensión de por qué hizo la prueba de la siguiente manera:

Prueba:

Dado que la función es estrictamente decreciente, esto significa que si $ x \lt y \implies f(x) \gt f(y)$. Para demostrar que es una función uno a uno, necesitamos demostrar que si $f(a)=f(b) \implies a=b$.

Sea $f(a) = f(b)$.

Caso 1: Consideremos cuando $a \lt b$, entonces esto implica que $f(a) \gt f(b)$ ya que $f(x)$ es estrictamente decreciente. Esto implica que $f(a) \ne f(b) \therefore a\ge b $.

Caso 2: Consideremos cuando $a \gt b$, entonces esto implica que $f(a) \lt f(b)$ ya que $f(x)$ es estrictamente decreciente. Esto implica que $f(a) \ne f(b) \therefore a = b $.

Preguntas:

1. Parece que la prueba utilizada en la pregunta es una demostración por casos, ¿no es así?
2. ¿Por qué se asumió, en el Caso 1, que $f(a) = f(b)$ aunque lo que se da en la pregunta es que $f(x)$ es estrictamente decreciente?
3. ¿Por qué se concluyó, en el Caso 1, que debido a que $f(a) \ne f(b) \therefore a\ge b $?
4. Supongo que finalmente se concluyó que $\therefore a = b $ es porque no quedan otros escenarios por los cuales $f(a) = f(b)$ excepto por la igualdad de $a$ y $b$.

Answer 1

Esta demostración realmente lo complica. En su lugar, prueba la contrapositiva:

$$x \neq y \implies f(x) \neq f(y)$$

Esto es fácil, porque o bien $x < y$ o $y < x$ y, por lo tanto, o bien $f(x) < f(y)$ o $f(y) < f(x)$. Por lo tanto, $f(x) \neq f(y)$ cuando $x\neq y$.