¿Cuántas son las soluciones enteras no negativas de la ecuación $ + + + = 16$ donde $x < y$?

Question

¿Cuántas son las soluciones enteras no negativas de $ + + + = 16$ donde $x < y$?

¿Alguien puede explicar cómo abordar este tipo de problema? La respuesta es 444.

Answer 1

No puedo comentar, así que esta respuesta es más un comentario. Utilizas estrellas y barras. Tienes tres barras | | | donde cada espacio representa una de x, y, w o z. Y tienes 16 estrellas. Así que cuentas el número de formas distintas de reorganizar las tres barras y 16 estrellas, que es (3+16)!/(3! * 16!) = 969.

A continuación, encuentra el número de casos donde x = y (x = y = 1, x = y = 2, etc.) lo cual requerirá algún cálculo pero no es difícil y se puede usar el método de estrellas y barras anterior para calcular cada caso. Este número debería ser 81.

Así que (969 - 81)/2 = 444 es el número de soluciones enteras no negativas donde x < y (ya que el número de soluciones donde x > y es exactamente igual).

Answer 2

Considera los casos y encuentra un patrón.

Cuando $x=0$: $$0+y+z+w=16, y\ge 1, z,w\ge 0 \Rightarrow \\ t+1+z+w=16,t,z,w\ge 0 \Rightarrow \\ t+z+w=15, t,z,w\ge 0 \Rightarrow \\ {15+3-1\choose 3-1}$$ Nota: Se utilizó Stars and Bars.

Cuando $x=1$: $$1+y+z+w=16, y\ge 2, z,w\ge 0 \Rightarrow \\ t+2+z+w=15,t,z,w\ge 0 \Rightarrow \\ t+z+w=13, t,z,w\ge 0 \Rightarrow \\ {13+3-1\choose 3-1}$$
$\vdots$

Cuando $x=7$: $$7+y+z+w=16, y\ge 8, z,w\ge 0 \Rightarrow \\ t+8+z+w=9,t,z,w\ge 0 \Rightarrow \\ t+z+w=1, t,z,w\ge 0 \Rightarrow \\ {1+3-1\choose 3-1}$$ Por lo tanto, es la suma: $$\begin{align}\sum_{i=1}^8 {2i-1+3-1\choose 3-1}&=\sum_{i=1}^8 {2i+1\choose 2}=\sum_{i=1}^8 \frac{(2i+1)!}{2!(2i-1)!}=\sum_{i=1}^8 \frac{(2i+1)2i}{2}=\\ &=\sum_{i=1}^8 (2i^2+i)=2\frac{8(8+1)(2\cdot 8+1)}{6}+\frac{8(8+1)}{2}=\\ &=24\cdot 17+36=444.\end{align}$$