Función continua aproximada con condición de crecimiento lineal por función de Lipschitz.

Question

Supongamos una función continua $f(u)1$, ¿entonces la convergencia uniforme se cambiaría a solo convergencia por límite puntual? Mi idea es usar la función de corte para aproximarla. Pero no sé cómo probar la convergencia uniforme utilizando la suposición sobre $f$.

Answer 1

Intentaría lo siguiente. Para $n>K$, considera la función $f_n(x)=\sup_{u\in\mathbb R} (f(u)-n|u-x|)$. Luego verifica que

• $f_n$ está bien definida (el supremo se alcanza y es finito)
• $f_n$ es Lipschitz
• $f_n\ge f$
• $f_n\to f$ punto a punto ... la uniformidad no es tan clara.

De hecho, no creo en la aproximación uniforme. La función $f(u) = \sin u^2$ obviamente cumple la cota dada, pero para cualquier función Lipschitz $g:\mathbb R\to\mathbb R$ tenemos $\sup|f-g|\ge 1$.

Answer 2

La respuesta anterior está demostrada en el artículo de San Martín y Lepeltier.