Sé que la espiral arquimediana se puede representar muy fácilmente usando el sistema de coordenadas polares. Pero me preguntaba si se puede representar usando el sistema de coordenadas cartesianas, y si es así, ¿cuál es la función?
Respuesta
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Aquí tienes una solución para una espiral de doble Arquímedes (ver figura abajo).
Consideremos la espiral de Arquímedes más simple con la ecuación polar:
$$\tag{1}r=\theta.$$
Usando las siguientes fórmulas:
$$\tag{2}\begin{cases}r^2=x^2+y^2\\\tan{\theta}=\tfrac{y}{x}\\\end{cases},$$
(1) puede transformarse en la siguiente ecuación cartesiana implícita:
$$\tag{3}\arctan(\tfrac{y}{x})=\sqrt{x^2+y^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x \neq 0).$$
Tomando $\tan$ en ambos lados da la solución:
$$\tag{4}y= x \tan\sqrt{x^2+y^2}.$$
Observaciones:
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Nota que, al multiplicar por $x$, la restricción $x \neq 0$ ya no es necesaria. Esto no debería parecer mágico: al contrario, la condición $x \neq 0$ en (3) estaba privando a la curva de puntos $(0,(4k+1)\tfrac{\pi}{2}), \ k \in \mathbb{Z},$ que han sido devueltos a su propietario bajo la forma (4).
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De hecho, la ecuación (4) define una espiral de Arquímedes doble (cambiar $(x,y)$ por $(-x,-y)$ no cambia esta ecuación). Ver imagen abajo donde la curva roja es la espiral de Arquímedes, estrictamente hablando, y la curva magenta es su copia a través de una simetría central.
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De (4), no parece posible extraer ecuaciones cartesianas explícitas $y=f_n(x)$ (habría por supuesto un número infinito de tales ecuaciones).
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(4) no puede transformarse en una ecuación implícita polinómica $P(x,y)=0$. Una razón simple: cualquier línea recta corta una espiral de Arquímedes en un número infinito de puntos, lo cual es imposible para una ecuación polinómica.
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Es fácil de ahí obtener una ecuación cartesiana análoga a (4) para las espirales de Arquímedes generales $r=a\theta.$
