Supuestamente: la existencia de un número natural y sus sucesores no implica, sin el Axioma de Infinitud, la existencia de un conjunto infinito.

Question

La afirmación:

De una conversación en Twitter, de alguien a quien mantendré en el anonimato (pronombres él), se afirmó:

La existencia de números naturales y el hecho de que dado un número natural $n$, siempre hay un sucesor $(n+1)$, no implica la existencia de un conjunto infinito. Necesitas un axioma adicional para eso.

Se aclaró que se refería al Axioma de Infinito.

La pregunta:

¿Es cierta la afirmación? ¿Por qué o por qué no?

Contexto:

Me gusta cómo, si es cierto, va en contra de la idea de que, si simplemente sigues sumando uno a algo, obtendrás algo infinito.

Esto está más allá de mí. Buscar una respuesta en línea lleva a algunos hallazgos interesantes, como este.

Para agregar contexto, entonces, estoy estudiando para un doctorado en Teoría de Grupos. No tengo experiencia con este tipo de pregunta fundamental. Estoy buscando una explicación/refutación.

Para tener una idea de mi experiencia jugando con axiomas, mira:

¿Cuál es el número mínimo de axiomas necesarios para definir un anillo (que no necesariamente sea conmutativo) que no tenga que tener un uno?

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He incluido peano-axioms ya que la Aritmética de Peano parece pertinente.

Answer 1

Como se señala en los comentarios, la estructura ($V_\omega$, $\in$) satisface todos los axiomas de ZFC excepto el axioma de la existencia de un conjunto inductivo, y además cada objeto de ella es finito bajo todas las definiciones (¿habitualmente?) (ya que se cumple la elección), por lo que se sigue que realmente es necesario algún axioma de infinitud para probar la existencia de un conjunto infinito

edición para mayor clarificación: aunque de manera ingenua uno podría pensar "pero por supuesto que hay infinitos objetos diferentes disponibles (dentro de tal modelo / demostrablemente en tal teoría, etc.)", el punto es que 'finito' e 'infinito' son realmente frases formales; comparar y contrastar la paradoja de Skolem

Answer 2

La respuesta de ac15 es correcta y al grano. Ayuda a aclarar la terminología filosófica subyacente. Es decir, hay dos tipos de infinito, en cierto sentido.

Si uno dice Tomar $n$, formar su sucesor $n + 1$, y su sucesor $(n + 1) + 1$ a su vez, y proceder, el proceso de no finalización descrito puede ser visto como una infinitud potencial. Esto es algo que nunca termina sin ser un todo concreto. Otros ejemplos incluyen al definir una teoría formal, se puede pensar en el conjunto de variables sintácticas como siendo potencialmente infinito (siempre hay más variables de las que necesitas). O puedes creer que la cinta en las máquinas de Turing es potencialmente infinita (la cinta nunca se acaba pero no necesita ser infinita en tamaño en realidad), y así sucesivamente.

Cuando se agrega Esto no implica la existencia de un conjunto infinito, se está hablando de infinitos completos o infinitos reales. El conjunto de números naturales tomado como un todo es (tiene la propiedad de ser) un infinito completo, al igual que $\mathbb{R}$, $\aleph_{5}$, y así sucesivamente.

Si vivieras en $\mathrm{V}_\omega$, verías a $\omega$ como una infinitud potencial. En cambio, en $\mathrm{V}$, el conjunto de números naturales $\omega$ es el infinito completo más pequeño. En este caso particular, las dos nociones de infinito también se encapsulan más o menos al decir que $\omega$ es el cardinal trivialmente inaccesible fuerte, siempre que omitas la condición de ser incontable.

Answer 3

Una forma de pensar en esto es en términos de Aritmética de Peano (PA). La teoría PA incluye, por supuesto, el axioma sucesor, y por lo tanto una forma de generar números arbitrariamente grandes. Sin embargo, PA no prueba la existencia de un conjunto infinito. De hecho, PA es equiconsistente con la teoría ZFC con el axioma de infinito reemplazado por su negación; ver wiki sobre esto.