Por favor, muestra $|\sin(n+1)x| = |\sin(nx+x)|$

Question

Bastante sencillo. Estoy mirando un libro de análisis, en el capítulo 1, no estoy familiarizado con cómo

$|\sin(n+1)x| = |\sin(nx+x)|$

¿Alguien podría mostrarme la prueba o el método aquí? Estoy seguro de que es bastante simple pero no lo veo.

Answer 1

Supongo que en el lado izquierdo, en realidad tenemos $|\sin[(n + 1)x]|$, en cuyo caso solo necesitamos distribuir $x$ dentro del argumento de $\sin$ para obtener el lado derecho de la ecuación.

$((n + 1)x) = (nx + x)$.

Es tan simple como eso.

Answer 2

Así como el espaciado entre palabras en texto escrito, el espaciado alrededor de operadores matemáticos binarios (como $+$ o $-$) y operadores unarios (por ejemplo, $\sin$, $\exp$, etc.) es crítico para determinar el significado.

Como regla general de la tipografía matemática, las funciones matemáticas escritas como operadores, es decir, simplemente prefijadas al argumento, se imprimen en tipo romano, seguidas por un espacio delgado que precede al argumento. Por ejemplo:$$\sin x+\sin y =2\sin\tfrac12(x+y)\sin\tfrac12(x-y),$$$$\ln xy=\ln x+\ln y,\qquad\quad$$$$\exp(x+y)=\exp x+\exp y.\qquad\qquad$$En los ejemplos anteriores, la tipografía hace que las expresiones sean completamente inequívocas. Cualquier paréntesis adicional solo añadiría desorden, mientras que los paréntesis existentes son necesarios.

En el caso particular de su pregunta, tenemos la simple identidad algebraica$$(n+1)x=nx+x.$$Cuando aplicamos la función seno a esta cantidad, no necesitamos más paréntesis en el lado izquierdo; pero los paréntesis deben ser introducidos en el lado derecho porque de lo contrario se leería como $$\sin nx+x,$$que es la suma de $\sin nx$ y $x$.